Номер 1.134, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.134. Докажите, что в трапеции:

1) сумма боковых сторон больше разности оснований;

2) сумма диагоналей больше суммы оснований;

3) разность оснований больше разности боковых сторон.

1) сумма боковых сторон больше разности оснований
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем, не умаляя общности, будем считать, что $AD$ является большим основанием. Обозначим длины сторон: $AD = a$, $BC = b$, и боковых сторон $AB = c$, $CD = d$. Требуется доказать, что $c + d > a - b$.

Выполним дополнительное построение. Проведем из вершины $C$ отрезок $CE$, параллельный боковой стороне $AB$, до его пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.
Так как в четырехугольнике $ABCE$ противоположные стороны попарно параллельны ($BC \parallel AE$ как части оснований трапеции, $AB \parallel CE$ по построению), то $ABCE$ — параллелограмм.
Из свойств параллелограмма следует, что $CE = AB = c$ и $AE = BC = b$.

Теперь рассмотрим треугольник $CED$. Длины его сторон равны: $CE = c$, $CD = d$ и $ED$. Длину стороны $ED$ можно выразить как разность длин основания $AD$ и отрезка $AE$: $ED = AD - AE = a - b$.
Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника, согласно которому сумма длин двух его сторон всегда больше длины третьей стороны. Применим это неравенство к треугольнику $CED$ для сторон $CE$, $CD$ и $ED$:
$CE + CD > ED$
Подставив в это неравенство выражения для длин сторон, получаем:
$c + d > a - b$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма боковых сторон трапеции больше разности ее оснований.

2) сумма диагоналей больше суммы оснований
Пусть дана та же трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = a$, $BC = b$ и диагоналями $AC = d_1$, $BD = d_2$. Требуется доказать, что $d_1 + d_2 > a + b$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В результате пересечения диагоналей образуется четыре треугольника. Рассмотрим два из них, сторонами которых являются основания трапеции.

Для треугольника $AOD$, образованного отрезками диагоналей $AO$, $OD$ и основанием $AD$, по неравенству треугольника справедливо:
$AO + OD > AD$

Для треугольника $BOC$, образованного отрезками диагоналей $BO$, $OC$ и основанием $BC$, по неравенству треугольника справедливо:
$BO + OC > BC$

Сложим левые и правые части этих двух неравенств:
$(AO + OD) + (BO + OC) > AD + BC$
Сгруппируем слагаемые в левой части так, чтобы получились целые диагонали:
$(AO + OC) + (BO + OD) > AD + BC$
Поскольку $AO + OC = AC = d_1$ и $BO + OD = BD = d_2$, а также $AD=a$ и $BC=b$, мы можем переписать неравенство в следующем виде:
$d_1 + d_2 > a + b$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма диагоналей трапеции больше суммы ее оснований.

3) разность оснований больше разности боковых сторон
В той же трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = a$, $BC = b$ ($a > b$) и боковыми сторонами $AB = c$, $CD = d$. Требуется доказать, что разность оснований больше модуля разности боковых сторон: $a - b > |c - d|$.

Воспользуемся дополнительным построением из первого пункта. Проведем из вершины $C$ отрезок $CE \parallel AB$ ($E$ лежит на $AD$). Мы получили треугольник $CED$ со сторонами $CE=c$, $CD=d$ и $ED = a-b$.

Из неравенства треугольника известно, что любая сторона треугольника больше модуля разности двух других его сторон. Применим это свойство к стороне $ED$ треугольника $CED$ и двум другим его сторонам $CE$ и $CD$:
$ED > |CE - CD|$
Подставим в неравенство длины сторон, выраженные через параметры трапеции:
$a - b > |c - d|$
Это неравенство также можно доказать, рассмотрев два случая из неравенства треугольника:
1. $ED + CD > CE \implies (a-b) + d > c \implies a-b > c-d$
2. $ED + CE > CD \implies (a-b) + c > d \implies a-b > d-c$
Объединяя эти два условия, мы и получаем $a - b > |c - d|$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что разность оснований трапеции больше разности (модуля разности) ее боковых сторон.