Номер 1.137, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.137. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобокой трапеции, делит большее основание на части, имеющие длины $a$ и $b$ $(a > b)$. Найдите среднюю линию трапеции. Решите задачу при $a = 30$ см, $b = 6$ см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD — большее основание, а BC — меньшее. Проведем высоту BH из вершины тупого угла B на основание AD. Она делит основание AD на отрезки AH и HD.

Для определения соотношения длин этих отрезков, проведем также высоту CK из вершины C на то же основание AD. Поскольку трапеция является равнобокой, то боковые стороны равны ($AB = CD$), как и углы при основаниях. Прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе и катету ($BH = CK$ как высоты трапеции). Следовательно, их вторые катеты также равны: $AH = DK$.

Фигура HBCK, ограниченная основаниями и высотами, является прямоугольником, так как $BC \parallel HK$ и $BH \perp AD, CK \perp AD$. Отсюда следует, что длина меньшего основания равна длине отрезка HK: $BC = HK$.

Рассмотрим отрезок HD, который является одной из частей большего основания. Его длина равна сумме длин отрезков HK и KD: $HD = HK + KD$. Заменяя $HK$ на $BC$ и $KD$ на $AH$ на основе предыдущих выводов, получаем $HD = BC + AH$. Так как длина основания $BC$ является положительной величиной, то очевидно, что $HD > AH$.

По условию задачи, высота делит большее основание на отрезки длиной $a$ и $b$, где $a > b$. Сопоставив это с нашим выводом, заключаем, что длина большего отрезка $HD = a$, а длина меньшего отрезка $AH = b$.

Теперь мы можем выразить длины оснований трапеции через $a$ и $b$:
Длина большего основания: $AD = AH + HD = b + a$.
Длину меньшего основания найдем из равенства $HD = BC + AH$. Подставив известные значения, получим $a = BC + b$, что означает $BC = a - b$.

Средняя линия трапеции $m$ по определению равна полусумме ее оснований:
$m = \frac{AD + BC}{2}$
Подставим в эту формулу найденные выражения для AD и BC:
$m = \frac{(a+b) + (a-b)}{2} = \frac{2a}{2} = a$

Таким образом, мы доказали, что средняя линия трапеции в данном случае равна длине большего из отрезков, на которые высота, опущенная из тупого угла, делит ее большее основание.

Теперь решим задачу для конкретных значений: $a = 30$ см и $b = 6$ см.
Используя выведенную формулу $m=a$, находим среднюю линию:
$m = 30$ см.

Ответ: 30 см.