Номер 1.132, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.132. Один угол равнобокой трапеции равен 60°, боковая сторона – 24 см, а сумма оснований – 44 см. Найдите длины оснований трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция, где $a$ и $b$ — длины оснований ($a > b$), $c$ — длина боковой стороны. По условию задачи имеем:
Один из углов равен $60^{\circ}$. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно, углы при большем основании равны $60^{\circ}$.
Длина боковой стороны $c = 24$ см.
Сумма оснований $a + b = 44$ см.

Проведем из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. Эти высоты отсекут на большем основании два равных отрезка. Длину каждого такого отрезка можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной (гипотенуза), высотой и этим отрезком (катеты).

Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. Его гипотенуза равна боковой стороне трапеции ($c = 24$ см), а один из острых углов равен углу при основании трапеции ($60^{\circ}$). Отрезок, отсекаемый на большем основании, является катетом, прилежащим к этому углу. Найдем его длину $x$:
$x = c \cdot \cos(60^{\circ})$
$x = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.

Большее основание $a$ равно сумме меньшего основания $b$ и двух таких отрезков $x$:
$a = b + 2x$
Отсюда разность оснований равна:
$a - b = 2x = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения длин оснований $a$ и $b$:
$\begin{cases} a + b = 44 \\ a - b = 24 \end{cases}$

Сложим два уравнения:
$(a + b) + (a - b) = 44 + 24$
$2a = 68$
$a = \frac{68}{2} = 34$ см.

Теперь подставим найденное значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:
$34 + b = 44$
$b = 44 - 34 = 10$ см.

Таким образом, длины оснований трапеции равны 10 см и 34 см.
Ответ: 10 см и 34 см.