Номер 1.133, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.133. Один угол прямоугольной трапеции равен $45^{\circ}$, а ее основания – 10 см и 15 см. Найдите меньшую боковую сторону трапеции (рис. 1.67).

Рис. 1.67

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Это означает, что $\angle A = 90°$. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC || AD$), то сумма односторонних углов при секущей $AB$ равна $180°$, следовательно, $\angle B$ также равен $90°$. Боковыми сторонами трапеции являются $AB$ и $CD$.

Из условия задачи известно, что основания равны $BC = 10$ см и $AD = 15$ см. Также дан один из углов, равный $45°$. Так как углы $A$ и $B$ — прямые, этим углом может быть только $\angle D$ или $\angle C$. Судя по рисунку и тому, что трапеция не является прямоугольником, $\angle D = 45°$.

Для решения задачи проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на большее основание $AD$. Так как $AB$ и $CH$ обе перпендикулярны $AD$, они параллельны друг другу. Поскольку $BC$ по определению трапеции параллельна $AD$ (и, следовательно, $AH$), четырехугольник $ABCH$ является прямоугольником.

Из свойств прямоугольника следует, что противолежащие стороны равны: $AB = CH$ $AH = BC = 10$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $HD$: $HD = AD - AH = 15 - 10 = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ ($\angle CHD = 90°$). Нам известен угол $\angle D = 45°$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому мы можем найти третий угол: $\angle HCD = 180° - 90° - 45° = 45°$.

Так как два угла в треугольнике $CHD$ равны ($\angle HCD = \angle D = 45°$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике катеты равны: $CH = HD = 5$ см.

Мы ищем меньшую боковую сторону. Одна боковая сторона — это $AB$. Мы выяснили, что $AB = CH$, значит, $AB = 5$ см. Вторую боковую сторону, $CD$, можно найти по теореме Пифагора в треугольнике $CHD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$. $CD = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Сравним длины боковых сторон: $AB = 5$ см и $CD = 5\sqrt{2}$ см. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $5\sqrt{2} \approx 7.07$ см. Очевидно, что $5 < 5\sqrt{2}$. Следовательно, меньшая боковая сторона — это $AB$.

Ответ: 5 см.