Номер 1.136, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.136. Докажите, что трапеция является равнобокой, если ее диагонали равны.

1.136. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). По условию, ее диагонали равны: $AC = BD$. Необходимо доказать, что трапеция является равнобокой, то есть ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Для доказательства используем метод дополнительного построения. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $BCED$. В нем:
1. $BC \parallel DE$ (так как $BC \parallel AD$, а точка $E$ лежит на прямой $AD$).
2. $CE \parallel BD$ (по построению).
Следовательно, четырехугольник $BCED$ является параллелограммом по определению. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны: $CE = BD$.

По условию задачи дано, что $AC = BD$. Так как мы доказали, что $CE = BD$, то получаем, что $AC = CE$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ACE$. Поскольку две его стороны равны ($AC = CE$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle CAE = \angle CEA$.

Так как $CE \parallel BD$, а $AE$ является секущей, то соответственные углы при этих параллельных прямых равны: $\angle CEA = \angle BDA$.
Из равенств $\angle CAE = \angle CEA$ и $\angle CEA = \angle BDA$ следует, что $\angle CAE = \angle BDA$. Угол $\angle CAE$ совпадает с углом $\angle CAD$. Таким образом, мы доказали, что $\angle CAD = \angle BDA$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.
1. $AD$ — общая сторона.
2. $BD = AC$ — по условию.
3. $\angle BDA = \angle CAD$ — как доказано выше.
Следовательно, $\triangle ABD = \triangle DCA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $AB$ треугольника $\triangle ABD$ соответствует стороне $DC$ треугольника $\triangle DCA$. Значит, $AB = DC$.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, является равнобокой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.