Номер 1.135, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.6. Трапеция и её свойства. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.135, страница 37.

Учебник rus.

1.135. В равнобокой трапеции один из углов равен $60^\circ$, а основания – 15 см и 49 см. Найдите ее периметр (рис. 1.68).

Рис. 1.68

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC. По условию задачи, основания равны $AD = 49$ см и $BC = 15$ см. Угол при большем основании равен $60°$, то есть $\angle A = \angle D = 60°$. Поскольку трапеция равнобокая, её боковые стороны равны: $AB = CD$.

Для нахождения длины боковой стороны опустим из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD. Получится прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

Так как трапеция равнобокая, высоты BH и CK отсекают от большего основания равные отрезки: $AH = KD$. Четырёхугольник HBCK является прямоугольником (так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$), поэтому $HK = BC = 15$ см.

Сумма длин отрезков AH и KD равна разности длин оснований: $AH + KD = AD - HK = 49 - 15 = 34$ см. Поскольку отрезки равны, то $AH = \frac{34}{2} = 17$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нём известен катет $AH = 17$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle A = 60°$. Боковая сторона AB является гипотенузой. Связь между гипотенузой, прилежащим катетом и углом выражается через косинус: $\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$

Отсюда выразим длину боковой стороны AB: $AB = \frac{AH}{\cos(60°)}$

Зная, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, находим: $AB = \frac{17}{1/2} = 17 \cdot 2 = 34$ см.

Так как трапеция равнобокая, $CD = AB = 34$ см.

Периметр трапеции P — это сумма длин всех её сторон: $P = AB + BC + CD + AD = 34 + 15 + 34 + 49 = 132$ см.

Ответ: 132 см.