Номер 1.131, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.131. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из точек деления к другой стороне проведены отрезки, параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м (рис. 1.66).

Рис. 1.66

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. По условию задачи, длина верхнего основания $BC = 2$ м, а нижнего — $AD = 5$ м. Боковая сторона AB разделена точками E и K на три равные части, так что $BE = EK = KA$. Через точки E и K проведены отрезки EF и KL, параллельные основаниям. Необходимо найти длины этих отрезков.

Для решения задачи применим метод подобных треугольников. Для этого проведем в трапеции диагональ BD. Она пересечет отрезок EF в точке G, а отрезок KL — в точке H. Таким образом, искомые длины можно найти как суммы длин отрезков: $EF = EG + GF$ и $KL = KH + HL$.

Сначала найдем длину отрезка EG. Рассмотрим треугольник ABD. Так как по условию $EF \parallel AD$, то и отрезок $EG \parallel AD$. Следовательно, треугольник BEG подобен треугольнику BAD по двум углам (угол B — общий, а $\angle BEG = \angle BAD$ как соответственные углы при параллельных прямых EG, AD и секущей AB). Из условия $BE = EK = KA$ следует, что $BE = \frac{1}{3} AB$. Отношение длин соответственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $\frac{EG}{AD} = \frac{BE}{AB} = \frac{1}{3}$ Подставив известную длину $AD = 5$ м, получаем: $EG = \frac{1}{3} \cdot AD = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3}$ м.

Теперь найдем длину отрезка GF. Рассмотрим треугольник BCD. Так как $EF \parallel BC$, то и $GF \parallel BC$. Поскольку точка E делит сторону AB в отношении $BE:EA = 1:2$, то по теореме Фалеса точка G делит диагональ BD в том же отношении: $BG:GD = 1:2$. Отсюда следует, что $\frac{GD}{BD} = \frac{2}{3}$. Треугольник DGF подобен треугольнику DBC по двум углам (угол D — общий, а $\angle DGF = \angle DBC$ как соответственные углы при параллельных прямых GF, BC и секущей BD). Следовательно, их стороны пропорциональны: $\frac{GF}{BC} = \frac{GD}{BD} = \frac{2}{3}$ Подставив известную длину $BC = 2$ м, находим: $GF = \frac{2}{3} \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$ м.

Полная длина отрезка EF равна сумме длин его частей: $EF = EG + GF = \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3$ м.

Ответ: 3 м.

Аналогично найдем длину отрезка KL, который состоит из отрезков KH и HL. Рассмотрим треугольник ABD. Так как $KL \parallel AD$, то и $KH \parallel AD$. Треугольник BKH подобен треугольнику BAD. Из условия $BK = BE + EK = 2 \cdot BE$, а $AB = 3 \cdot BE$. Таким образом, отношение $\frac{BK}{AB} = \frac{2}{3}$. Запишем пропорцию для сторон: $\frac{KH}{AD} = \frac{BK}{AB} = \frac{2}{3}$ Найдем длину KH: $KH = \frac{2}{3} \cdot AD = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3}$ м.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Так как $KL \parallel BC$, то и $HL \parallel BC$. Точка K делит сторону AB в отношении $BK:KA = 2:1$. Значит, точка H делит диагональ BD в том же отношении: $BH:HD = 2:1$. Отсюда следует, что $\frac{HD}{BD} = \frac{1}{3}$. Треугольник DHL подобен треугольнику DBC. Отношение их сторон: $\frac{HL}{BC} = \frac{HD}{BD} = \frac{1}{3}$ Найдем длину HL: $HL = \frac{1}{3} \cdot BC = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$ м.

Полная длина отрезка KL равна сумме длин его частей: $KL = KH + HL = \frac{10}{3} + \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$ м.

Ответ: 4 м.