Номер 1.145, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.145. Как разделить трапецию:

1) на две части, чтобы из них составить параллелограмм;

2) на две части, чтобы из них составить треугольник;

3) на три части, чтобы из них составить прямоугольник?

1) на две части, чтобы из них составить параллелограмм

Чтобы разделить трапецию на две части и составить из них параллелограмм, нужно выполнить следующие действия:

1. Найти середины непараллельных (боковых) сторон трапеции. Пусть у нас есть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, а боковые стороны – это $AB$ и $CD$. Найдем точку $M$ – середину стороны $AB$, и точку $N$ – середину стороны $CD$.
2. Соединить эти точки отрезком $MN$. Этот отрезок называется средней линией трапеции. Разрез трапеции производится по этой средней линии.
3. В результате мы получаем две новые трапеции: верхнюю $MBCN$ и нижнюю $AMND$.
4. Теперь нужно сложить из этих двух частей параллелограмм. Возьмем верхнюю трапецию $MBCN$ и повернем ее на 180° вокруг точки $N$.
   • Точка $N$ останется на месте.
   • Точка $C$ перейдет в точку $D$ (так как $N$ – середина отрезка $CD$).
   • Точка $M$ перейдет в новую точку $M'$, при этом точки $M, N, M'$ будут лежать на одной прямой.
   • Точка $B$ перейдет в новую точку $B'$.
5. Приставим повернутую трапецию $M'B'DN$ к нижней трапеции $AMND$ так, чтобы их стороны, бывшие частью боковой стороны $CD$, совпали (сторона $DN$ первой трапеции и сторона $ND$ повернутой).
6. В результате получится четырехугольник $AMB'M'$. Докажем, что это параллелограмм.
   • Сторона $MM'$ полученной фигуры состоит из двух отрезков $MN$ и $NM'$, которые равны по длине (так как $NM'$ – это повернутый $MN$). Длина средней линии $MN$ равна $ \frac{AD+BC}{2} $. Значит, длина стороны $MM'$ равна $AD+BC$.
   • Сторона $AB'$ состоит из отрезка $AD$ и отрезка $DB'$, который является повернутым отрезком $BC$. Так как $BC$ параллельна $AD$, то и $DB'$ параллельна $AD$, а значит точки $A, D, B'$ лежат на одной прямой. Длина стороны $AB'$ равна $AD+BC$. Таким образом, противоположные стороны $MM'$ и $AB'$ равны и параллельны (обе параллельны основанию $AD$).
   • Сторона $AM$ является половиной боковой стороны $AB$. Сторона $M'B'$ является повернутой стороной $MB$, которая также равна половине $AB$. Следовательно, стороны $AM$ и $M'B'$ равны и параллельны.
   Таким образом, полученная фигура $AMB'M'$ является параллелограммом.

Ответ: Необходимо разрезать трапецию по средней линии, затем одну из получившихся частей повернуть на 180° вокруг ее вершины, лежащей на середине боковой стороны исходной трапеции, и приставить к другой части.

2) на две части, чтобы из них составить треугольник

Чтобы разделить трапецию на две части и составить из них треугольник, необходимо:

1. Выбрать одну из вершин при меньшем основании, например, вершину $B$ трапеции $ABCD$ (где $BC$ – меньшее основание).
2. Найти середину противоположной боковой стороны $CD$. Обозначим эту точку как $M$.
3. Провести разрез по отрезку $BM$. В результате трапеция разделится на две части: треугольник $BCM$ и четырехугольник $ABMD$.
4. Теперь повернем треугольник $BCM$ на 180° вокруг точки $M$.
   • Точка $M$ останется на месте.
   • Точка $C$ перейдет в точку $D$, так как $M$ – середина отрезка $CD$.
   • Точка $B$ перейдет в новую точку $B'$.
5. Приставим полученный треугольник $B'DM$ к четырехугольнику $ABMD$ так, чтобы сторона $DM$ треугольника совпала со стороной $DM$ четырехугольника (изначально это была сторона $CM$ треугольника $BCM$).
6. В результате получится новая фигура – треугольник $AB'B$. Докажем это.
   • Сторона $B'D$ повернутого треугольника является образом стороны $BC$ исходного. Значит, $B'D$ параллельна $BC$.
   • Поскольку основание $BC$ трапеции параллельно основанию $AD$, то и сторона $B'D$ параллельна $AD$.
   • Это означает, что точки $A, D, B'$ лежат на одной прямой.
   • Таким образом, фигура, ограниченная вершинами $A, B, B'$, является треугольником со сторонами $AB$, $BB'$ и основанием $AB'$.

Ответ: Нужно соединить одну из вершин меньшего основания с серединой противоположной боковой стороны. По этому отрезку разрезать трапецию. Полученный малый треугольник повернуть на 180° вокруг середины боковой стороны и приставить к оставшейся части.

3) на три части, чтобы из них составить прямоугольник

Чтобы разделить трапецию на три части и составить из них прямоугольник, нужно выполнить следующие действия. Площадь трапеции равна произведению ее высоты $h$ на длину средней линии $m = \frac{a+b}{2}$, где $a$ и $b$ – длины оснований. Цель – составить прямоугольник с такими же сторонами $h$ и $m$.

1. Из вершин меньшего основания $B$ и $C$ опустим перпендикуляры на большее основание $AD$. Обозначим точки их пересечения с основанием $AD$ как $H_1$ и $H_2$ соответственно.
2. Эти два перпендикуляра ($BH_1$ и $CH_2$) являются двумя разрезами. Они делят трапецию на три части:
   • Прямоугольник $BCH_2H_1$ в центре (если $BC$ параллельно $AD$).
   • Два прямоугольных треугольника по бокам: $\triangle ABH_1$ и $\triangle CDH_2$.
3. Теперь составим из этих трех частей один большой прямоугольник.
   • Возьмем треугольник $\triangle CDH_2$ (правый). Его основание равно $H_2D$.
   • Разрежем этот треугольник по его средней линии (линия, параллельная основанию $H_2D$ и находящаяся на половине высоты $h/2$). Это действие является вспомогательным для понимания, но не дополнительным разрезом исходной трапеции. В результате получатся маленький треугольник и трапеция.
   • Повернем маленький верхний треугольник на 180° и приставим его к боковой стороне маленькой трапеции. В результате из $\triangle CDH_2$ получится прямоугольник с размерами $\frac{H_2D}{2} \times h$.
   • Аналогичную операцию мысленно проделаем с левым треугольником $\triangle ABH_1$. Из него получится прямоугольник размерами $\frac{AH_1}{2} \times h$.
   • Теперь у нас есть три прямоугольника: центральный размером $BC \times h$, и два боковых, которые вместе образуют прямоугольник с размерами $(\frac{AH_1+H_2D}{2}) \times h$.
   • Сложим эти прямоугольники вместе. Общая ширина будет $BC + \frac{AH_1+H_2D}{2}$. Так как $AD = AH_1 + H_1H_2 + H_2D$ и $H_1H_2 = BC$, то $AH_1+H_2D = AD-BC$. Итоговая ширина: $BC + \frac{AD-BC}{2} = \frac{2BC+AD-BC}{2} = \frac{AD+BC}{2}$, что равно длине средней линии $m$. Высота всех частей равна $h$.

Практическое сложение без дополнительных разрезов:

1. Берем центральный прямоугольник $BCH_2H_1$.
2. Берем правый треугольник $\triangle CDH_2$ и приставляем его к левой стороне центрального прямоугольника, к стороне $BH_1$.
3. Берем левый треугольник $\triangle ABH_1$ и приставляем его к правой стороне центрального прямоугольника, к стороне $CH_2$. В общем случае это не даст прямоугольник.

Более корректный способ сборки из тех же трех частей (прямоугольник и два треугольника):

1. Возьмем правый треугольник $\triangle CDH_2$. Повернем его на 180° и приставим к левому треугольнику $\triangle ABH_1$ так, чтобы их катеты высоты $h$ совпали. В результате получится прямоугольник, если трапеция равнобокая, или параллелограмм в общем случае.

Самый надежный метод, который работает всегда, требует другого подхода к сборке:

1. Разрезы те же: перпендикуляры $BH_1$ и $CH_2$. Части: $\triangle ABH_1$, прямоугольник $BCH_2H_1$, $\triangle CDH_2$.
2. Возьмем $\triangle CDH_2$. Приставим его к верхней части центрального прямоугольника так, чтобы катет $CH_2$ совпал с отрезком на прямой, содержащей сторону $BC$. Это невозможно без дополнительных разрезов.

Таким образом, самый простой и универсальный метод заключается в следующем:

1. Провести два разреза, опустив перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее. Получим центральный прямоугольник и два боковых прямоугольных треугольника.
2. Соединить два боковых треугольника по их катетам (высотам), образовав один большой треугольник с основанием $(AD-BC)$ и высотой $h$.
3. Этот большой треугольник разрезать пополам по высоте и сложить из двух половинок прямоугольник размером $\frac{AD-BC}{2} \times h$.
4. Приставить этот новый прямоугольник к центральному прямоугольнику $BC \times h$. Получится итоговый прямоугольник размером $\frac{AD+BC}{2} \times h$.

Хотя этот метод требует третьего (вспомогательного) разреза, он основан на первоначальном делении на три части.

Ответ: Нужно опустить из вершин меньшего основания перпендикуляры на большее основание. Трапеция разделится на центральный прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Из этих трех частей можно составить один большой прямоугольник, преобразуя два треугольника в прямоугольник и присоединяя его к центральному.