Номер 1.152, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.152. Постройте равнобокую трапецию, если даны:

1) угол $A$, основание $AD$ и боковая сторона $AB$;

2) основание $BC$, боковая сторона $AB$ и диагональ $BD$.

1) угол А, основание AD и боковая сторона AB

Для построения равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD и BC по заданным углу $\angle A$, длине основания AD и длине боковой стороны AB необходимо выполнить следующие действия.

Анализ задачи:
В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, следовательно, $\angle D = \angle A$. Основания трапеции параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Зная сторону AD, угол A и сторону AB, мы можем построить вершины A, B и D. Четвертая вершина C будет лежать на пересечении двух прямых: прямой, проходящей через B параллельно AD, и прямой, проходящей через D под углом, равным $\angle A$, к основанию AD.

Порядок построения:

1. Провести прямую и отложить на ней отрезок AD, равный данной длине основания.
2. В точке A построить угол, равный данному углу $\angle A$. Одна сторона угла должна лежать на отрезке AD.
3. На второй стороне построенного угла от точки A отложить отрезок AB, равный данной длине боковой стороны.
4. Через точку B провести прямую $l$, параллельную прямой AD.
5. В точке D построить угол, равный данному углу $\angle A$ (так как трапеция равнобокая, $\angle D = \angle A$). Угол должен быть расположен в той же полуплоскости относительно прямой AD, что и точка B.
6. Точка пересечения прямой $l$ и луча, выходящего из точки D (шаг 5), является искомой вершиной C.
7. Соединить точки A, B, C и D. Четырехугольник ABCD — искомая равнобокая трапеция.

Проверка:
По построению, AD имеет заданную длину, AB имеет заданную длину, и $\angle A$ равен заданному углу. Так как $BC \parallel AD$, фигура ABCD является трапецией. Поскольку углы при основании равны ($\angle A = \angle D$), трапеция является равнобокой. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Построение выполнено. Задача имеет решение, если угол $\angle A$ острый и $AD > 2 \cdot AB \cdot \cos(\angle A)$.

2) основание BC, боковая сторона AB и диагональ BD

Для построения равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD и BC по заданным длине основания BC, длине боковой стороны AB и длине диагонали BD необходимо выполнить следующие действия.

Анализ задачи:
В равнобокой трапеции боковые стороны равны, то есть $CD = AB$. Это позволяет рассмотреть треугольник BCD. Длины всех его трех сторон известны: BC (дано), BD (дано) и CD (равна данной стороне AB). Таким образом, можно построить $\triangle BCD$ по трем сторонам. После нахождения вершин B, C и D, последнюю вершину A можно найти, используя свойство параллельности оснований ($AD \parallel BC$) и известную длину боковой стороны AB.

Порядок построения:

1. Построить треугольник BCD по трем известным сторонам:
   • Отложить отрезок BC, равный данной длине основания.
   • Из точки B как из центра провести дугу окружности радиусом, равным длине диагонали BD.
   • Из точки C как из центра провести дугу окружности радиусом, равным длине боковой стороны AB (поскольку $CD = AB$).
   • Точка пересечения этих дуг является вершиной D.
2. Через точку D провести прямую $m$, параллельную прямой BC. На этой прямой будет лежать основание AD.
3. Из точки B как из центра провести дугу окружности радиусом, равным длине боковой стороны AB.
4. Точка пересечения прямой $m$ и дуги, построенной в шаге 3, является искомой вершиной A.
5. Соединить точки A, B, C и D. Четырехугольник ABCD — искомая равнобокая трапеция.

Проверка:
По построению, BC имеет заданную длину, AB имеет заданную длину, BD имеет заданную длину. Так как $CD$ строилась равной $AB$, боковые стороны равны. Поскольку $AD \parallel BC$, фигура ABCD является трапецией. Следовательно, ABCD — равнобокая трапеция, удовлетворяющая всем условиям задачи.

Ответ: Построение выполнено. Задача имеет решение, если отрезки с длинами BC, AB и BD удовлетворяют неравенству треугольника ($BC + AB > BD$, $BC + BD > AB$, $AB + BD > BC$).