Номер 1.146, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.146. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей равнобедренной трапеции и точку пересечения продолжений ее боковых сторон, перпендикулярна основаниям трапеции и делит их пополам.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$ ($AB = CD$). Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Пусть $E$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $DC$. Требуется доказать, что прямая, проходящая через точки $E$ и $O$, перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$ и делит их пополам.

1. Доказательство равнобедренности треугольников EAD и EBC.

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная, углы при ее основании равны: $\angle DAB = \angle CDA$. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы при прямой $AE$ и $DE$ будут соответственными: $\angle EBC = \angle EAD$ и $\angle ECB = \angle EDA$. Из этого следует, что $\angle EBC = \angle ECB$. Таким образом, треугольник $EBC$ является равнобедренным с основанием $BC$, а его боковые стороны равны: $EB = EC$.

Теперь рассмотрим стороны $AE$ и $DE$. Они состоят из следующих отрезков: $AE = AB + BE$ $DE = DC + CE$ По условию трапеция равнобедренная, поэтому $AB = DC$. Мы также доказали, что $EB = EC$. Следовательно, $AE = DE$. Это означает, что треугольник $EAD$ также является равнобедренным с основанием $AD$.

2. Доказательство равнобедренности треугольников AOD и BOC.

В равнобедренной трапеции диагонали равны: $AC = BD$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. У них сторона $AD$ — общая, $AB = DC$ по свойству равнобедренной трапеции, и $\angle DAB = \angle CDA$ как углы при основании. Следовательно, $\triangle ABD \cong \triangle DCA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle ADB = \angle DAC$. Эти углы являются углами при основании $AD$ в треугольнике $AOD$. Так как углы при основании равны, треугольник $AOD$ является равнобедренным, и $OA = OD$.

Поскольку диагонали $AC$ и $BD$ равны, и их отрезки $OA$ и $OD$ также равны, то и оставшиеся отрезки равны: $OC = AC - OA$ $OB = BD - OD$ Отсюда следует, что $OB = OC$. Таким образом, треугольник $BOC$ также является равнобедренным.

3. Доказательство того, что прямая EO перпендикулярна основаниям и делит их пополам.

Рассмотрим треугольники $\triangle EOA$ и $\triangle EOD$. В них: сторона $AE = DE$ (доказано в п.1), сторона $OA = OD$ (доказано в п.2), а сторона $EO$ — общая. Следовательно, $\triangle EOA \cong \triangle EOD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство углов $\angle AEO = \angle DEO$. Это значит, что прямая $EO$ является биссектрисой угла $AED$. Пусть прямая $EO$ пересекает основание $AD$ в точке $M$. Тогда $EM$ — это биссектриса равнобедренного треугольника $EAD$, проведенная к его основанию. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Как медиана, $EM$ делит основание $AD$ пополам: $AM = MD$. Как высота, $EM$ перпендикулярна основанию $AD$: $EM \perp AD$.

Теперь рассмотрим основание $BC$. Пусть прямая $EO$ пересекает его в точке $N$. В равнобедренном треугольнике $EBC$ ($EB=EC$) отрезок $EN$ является биссектрисой угла $BEC$. Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника, $EN$ также является медианой и высотой. Как медиана, $EN$ делит основание $BC$ пополам: $BN = NC$. Как высота, $EN$ перпендикулярна основанию $BC$: $EN \perp BC$.

Таким образом, прямая, проходящая через точки $E$ и $O$, перпендикулярна обоим основаниям трапеции ($AD$ и $BC$) и делит каждое из них пополам.

Ответ: Утверждение доказано. Рассмотрев пары равнобедренных треугольников, образованных в ходе построений ($\triangle EAD$, $\triangle EBC$, $\triangle AOD$, $\triangle BOC$), мы доказываем, что прямая $EO$ является общей биссектрисой для углов $\angle AED$ и $\angle BEC$. В равнобедренных треугольниках $EAD$ и $EBC$ эта биссектриса является также медианой и высотой, проведенной к основаниям $AD$ и $BC$. Следовательно, прямая $EO$ перпендикулярна основаниям трапеции и делит их пополам.