Номер 1.149, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.149. По одну сторону отрезка $AB$, длина которого равна $a$, построили два квадрата: $APQS$ и $SMNB$ (рис. 1.70). Какая фигура является геометрическим местом точек середин отрезков (точек $D$), соединяющих центры всех возможных квадратов $APQS$ и $SMNB$?

Рис. 1.70

1.150. Постройте трапецию по основаниям и

Для нахождения искомого геометрического места точек (ГМТ) воспользуемся методом координат. Расположим отрезок AB на оси Ox так, чтобы точка A совпадала с началом координат. Тогда точки A и B будут иметь следующие координаты: $A(0, 0)$ и $B(a, 0)$.

Точка S принадлежит отрезку AB, поэтому её координаты можно записать как $S(x, 0)$, где $x$ может принимать любое значение от $0$ до $a$ ($0 \le x \le a$).

Рассмотрим первый квадрат APQS, построенный на отрезке AS. Длина его стороны равна $AS = x$. Поскольку квадрат построен по одну сторону от AB (предположим, в верхней полуплоскости), его вершины будут иметь координаты: $A(0, 0)$, $S(x, 0)$, $Q(x, x)$, $P(0, x)$.

Центр квадрата $O_1$ является серединой его диагонали, например, AQ. Найдем координаты $O_1$:
$x_{O_1} = \frac{x_A + x_Q}{2} = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$
$y_{O_1} = \frac{y_A + y_Q}{2} = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$
Таким образом, $O_1\left(\frac{x}{2}, \frac{x}{2}\right)$.

Теперь рассмотрим второй квадрат SMNB, построенный на отрезке SB. Длина его стороны равна $SB = a - x$. Его вершины имеют координаты: $S(x, 0)$, $B(a, 0)$, $N(a, a-x)$, $M(x, a-x)$.

Центр этого квадрата $O_2$ является серединой его диагонали, например, SN. Найдем координаты $O_2$:
$x_{O_2} = \frac{x_S + x_N}{2} = \frac{x + a}{2}$
$y_{O_2} = \frac{y_S + y_N}{2} = \frac{0 + (a - x)}{2} = \frac{a - x}{2}$
Таким образом, $O_2\left(\frac{x+a}{2}, \frac{a-x}{2}\right)$.

Точка D является серединой отрезка, соединяющего центры $O_1$ и $O_2$. Найдем координаты точки D $(x_D, y_D)$:
$x_D = \frac{x_{O_1} + x_{O_2}}{2} = \frac{\frac{x}{2} + \frac{x+a}{2}}{2} = \frac{\frac{2x+a}{2}}{2} = \frac{2x+a}{4}$
$y_D = \frac{y_{O_1} + y_{O_2}}{2} = \frac{\frac{x}{2} + \frac{a-x}{2}}{2} = \frac{\frac{a}{2}}{2} = \frac{a}{4}$

Полученные координаты точки D $(x_D, y_D) = \left(\frac{2x+a}{4}, \frac{a}{4}\right)$ зависят от параметра $x$.

Проанализируем эти координаты. Ордината точки D постоянна и равна $y_D = \frac{a}{4}$. Это означает, что все возможные положения точки D лежат на прямой, параллельной отрезку AB (оси Ox) и находящейся на расстоянии $\frac{a}{4}$ от него.

Теперь найдем, в каких пределах изменяется абсцисса $x_D$. Так как точка S перемещается по отрезку AB, параметр $x$ изменяется от $0$ до $a$.
При $x=0$ (когда точка S совпадает с A):
$x_D = \frac{2(0)+a}{4} = \frac{a}{4}$
При $x=a$ (когда точка S совпадает с B):
$x_D = \frac{2(a)+a}{4} = \frac{3a}{4}$

Поскольку $x_D$ является линейной функцией от $x$, при изменении $x$ от $0$ до $a$, $x_D$ будет принимать все значения от $\frac{a}{4}$ до $\frac{3a}{4}$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек D — это отрезок прямой, параллельной AB, концы которого имеют координаты $\left(\frac{a}{4}, \frac{a}{4}\right)$ и $\left(\frac{3a}{4}, \frac{a}{4}\right)$. Длина этого отрезка равна $\frac{3a}{4} - \frac{a}{4} = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это отрезок длиной $\frac{a}{2}$, параллельный отрезку AB и расположенный на расстоянии $\frac{a}{4}$ от него. Проекция этого отрезка на прямую AB симметрична относительно середины отрезка AB.