Номер 1.151, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.151. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.

Для построения трапеции по заданным основаниям и диагоналям используется метод вспомогательного треугольника, который получается с помощью параллельного переноса одной из диагоналей.

Пусть искомая трапеция — $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD = a$ и $BC = b$. Пусть диагонали равны $AC = d_1$ и $BD = d_2$. Для определенности, предположим, что $a > b$.

Выполним параллельный перенос диагонали $BD$ на вектор $\vec{BC}$. При этом точка $B$ перейдет в точку $C$, а точка $D$ — в некоторую точку $K$. Четырехугольник $BCKD$ является параллелограммом, поскольку $\vec{DK} = \vec{BC}$.

Из свойств параллелограмма следует, что $CK = BD = d_2$ и $DK = BC = b$.

Точки $A$, $D$ и $K$ лежат на одной прямой, так как $DK \parallel BC \parallel AD$. При этом отрезок $AK$ равен сумме оснований: $AK = AD + DK = a + b$.

В результате мы получаем треугольник $ACK$, все три стороны которого нам известны:

• $AC = d_1$ (диагональ трапеции).
• $CK = d_2$ (так как $CK=BD$).
• $AK = a + b$ (сумма оснований).

Таким образом, построение трапеции можно свести к построению треугольника $ACK$ по трем сторонам, а затем — к нахождению вершин $D$ и $B$.

Даны четыре отрезка с длинами $a, b, d_1, d_2$.

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AK$ длиной $a+b$.
2. Строим треугольник $ACK$ по трем сторонам: $AC = d_1$, $CK = d_2$ и $AK = a+b$. Для этого проводим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d_1$, и окружность с центром в точке $K$ и радиусом $d_2$. В качестве вершины $C$ выбираем одну из точек пересечения этих окружностей.
3. На отрезке $AK$ от точки $A$ откладываем отрезок $AD$ длиной $a$. Это будет одна из вершин основания трапеции. Заметим, что тогда $DK = AK - AD = (a+b) - a = b$.
4. Строим четвертую вершину трапеции $B$, достраивая параллелограмм $BCKD$. Для этого:
   • Проводим прямую через точку $C$, параллельную отрезку $DK$ (то есть прямой $AK$).
   • Проводим прямую через точку $D$, параллельную отрезку $CK$.
   • Точка пересечения этих двух прямых является искомой вершиной $B$.
5. Соединяем точки $A, B, C, D$ отрезками. Четырехугольник $ABCD$ — искомая трапеция.

Необходимо доказать, что построенный четырехугольник $ABCD$ является трапецией с заданными параметрами.

1. По построению (шаг 4), прямая $BC$ параллельна прямой $DK$, на которой лежит отрезок $AD$. Следовательно, $BC \parallel AD$, и четырехугольник $ABCD$ является трапецией.
2. Длина основания $AD$ по построению равна $a$.
3. По построению (шаг 4), четырехугольник $BCKD$ — параллелограмм. Значит, его противоположные стороны равны: $BC = DK$. Из шага 3 известно, что $DK = b$. Следовательно, длина второго основания $BC$ равна $b$.
4. Длина диагонали $AC$ по построению равна $d_1$.
5. Так как $BCKD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $BD$ и $CK$ равны. Длина отрезка $CK$ по построению равна $d_2$. Следовательно, длина диагонали $BD$ равна $d_2$.

Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ имеет основания $a$ и $b$ и диагонали $d_1$ и $d_2$.

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно построение вспомогательного треугольника $ACK$. Для этого необходимо, чтобы длины его сторон ($a+b, d_1, d_2$) удовлетворяли неравенствам треугольника:

• $d_1 + d_2 > a+b$
• $d_1 + (a+b) > d_2$
• $d_2 + (a+b) > d_1$

Поскольку $a, b, d_1, d_2$ являются длинами отрезков, они положительны, и последние два неравенства выполняются всегда. Главным условием является первое: сумма длин диагоналей должна быть больше суммы длин оснований. Если $d_1 + d_2 = a+b$, точки $A, C, K$ лежат на одной прямой, и трапеция вырождается. Если $d_1 + d_2 < a+b$, то треугольник $ACK$ построить невозможно, а следовательно, и трапецию.

Если условие $d_1 + d_2 > a+b$ выполнено, задача имеет единственное решение (с точностью до симметрии относительно прямой $AK$).

Ответ: Искомая трапеция может быть построена предложенным методом, если сумма длин диагоналей больше суммы длин оснований ($d_1 + d_2 > a+b$). Построение сводится к построению вспомогательного треугольника со сторонами $a+b$, $d_1$ и $d_2$.