Номер 1.158, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.158. Постройте трапецию по меньшему основанию, боковой стороне и двум тупым углам.

Анализ

Пусть искомая трапеция — $ABCD$, где $BC$ — меньшее основание, а $AD$ — большее, следовательно, $BC \parallel AD$. Нам даны длина меньшего основания $b$, длина одной из боковых сторон $c$ и два тупых угла $\alpha$ и $\beta$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Так как углы $\alpha$ и $\beta$ тупые (больше $90^\circ$), они не могут прилегать к одной и той же боковой стороне. Следовательно, они должны быть углами при одном из оснований. Если бы они были углами при большем основании, то смежные с ними углы при меньшем основании также были бы тупыми, что невозможно (сумма углов четырехугольника $360^\circ$). Значит, данные углы $\alpha$ и $\beta$ являются углами при меньшем основании $BC$.

Пусть $\angle ABC = \alpha$ и $\angle BCD = \beta$.

Условие «боковой стороне» означает, что дана длина одной из сторон: $AB$ или $CD$. Рассмотрим случай, когда дана сторона $AB = c$, прилежащая к углу $\alpha$. (Случай, когда дана сторона $CD=c$, решается аналогично).

Таким образом, задача сводится к построению трапеции $ABCD$ по следующим элементам: стороне $BC=b$, стороне $AB=c$, углу $\angle ABC = \alpha$ и углу $\angle BCD = \beta$. По трем элементам ($BC$, $AB$ и $\angle ABC$) мы можем однозначно определить положение вершины $A$ относительно вершин $B$ и $C$. Зная, что $AD \parallel BC$, мы можем провести через точку $A$ прямую, на которой лежит четвертая вершина $D$. Положение $D$ окончательно определяется условием $\angle BCD = \beta$. Это рассуждение и будет положено в основу построения.

Построение

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный данной длине меньшего основания $b$.
2. В точке $B$ от луча $BC$ в одну из полуплоскостей построим угол, равный данному тупому углу $\alpha$. Получим луч $BK$ ($\angle KBC = \alpha$).
3. На луче $BK$ отложим отрезок $BA$, равный данной длине боковой стороны $c$.
4. Через полученную точку $A$ проведём прямую $l$, параллельную прямой $BC$.
5. В точке $C$ от луча $CB$ (в ту же полуплоскость, где лежит точка $A$) построим угол, равный данному тупому углу $\beta$. Получим луч $CM$ ($\angle MCB = \beta$).
6. Точка $D$, в которой пересекаются прямая $l$ и луч $CM$, является четвертой вершиной трапеции.
7. Соединив точки, получим искомую трапецию $ABCD$.

Доказательство

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• По построению (шаг 4), прямая $AD$ параллельна прямой $BC$. Следовательно, $ABCD$ — трапеция.
• По построению (шаг 1), длина основания $BC$ равна $b$.
• По построению (шаг 3), длина боковой стороны $AB$ равна $c$.
• По построению (шаг 2), угол $\angle ABC$ равен $\alpha$.
• По построению (шаг 5), угол $\angle BCD$ равен $\beta$.
• Так как углы $\alpha$ и $\beta$ — тупые, то углы при основании $AD$ ($\angle DAB = 180^\circ - \alpha$ и $\angle CDA = 180^\circ - \beta$) являются острыми. Это подтверждает, что $BC$ — меньшее основание, а $AD$ — большее.

Все условия задачи выполнены, следовательно, построение является верным.

Исследование

Построение возможно, если прямая $l$ и луч $CM$ пересекаются. Прямая $l$ проходит через точку $A$ параллельно прямой $BC$. Луч $CM$ выходит из точки $C$ и образует с лучом $CB$ угол $\beta$. Поскольку угол $\beta$ — тупой ($90^\circ < \beta < 180^\circ$), луч $CM$ не может быть параллелен прямой $BC$ и направлен в ту же полуплоскость, где расположена прямая $l$. Следовательно, луч $CM$ и прямая $l$ всегда имеют ровно одну точку пересечения.

Это означает, что при любых заданных отрезках $b>0$, $c>0$ и тупых углах $\alpha, \beta$ задача всегда имеет единственное решение (в предположении, что боковая сторона $c$ прилегает к углу $\alpha$). Аналогично, существует единственное решение для случая, когда сторона $c$ прилегает к углу $\beta$.

Ответ: Задача решается с помощью описанного выше алгоритма построения. Построение всегда возможно и приводит к единственному решению (для каждого из двух возможных случаев расположения данной боковой стороны относительно данных углов).