Номер 1.162, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.162. Какой вид имеет треугольник, если:

1) центры вписанной и описанной окружностей совпадают;

2) центр описанной окружности лежит на его стороне;

3) центр вписанной окружности лежит на его высоте;

4) центр описанной окружности лежит на прямой, проходящей через его высоту?

1) центры вписанной и описанной окружностей совпадают;

Центр вписанной окружности, или инцентр, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Центр описанной окружности, или циркумцентр, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Если эти два центра совпадают, то биссектрисы углов треугольника также являются и серединными перпендикулярами к противолежащим сторонам.

Рассмотрим биссектрису, проведенную из вершины $A$. Если она является серединным перпендикуляром к стороне $BC$, то треугольник является равнобедренным, и стороны, прилежащие к вершине $A$, равны ($AB = AC$). Аналогично, если биссектриса из вершины $B$ совпадает с серединным перпендикуляром к стороне $AC$, то $AB = BC$.

Таким образом, если инцентр и циркумцентр совпадают, все три биссектрисы совпадают с соответствующими серединными перпендикулярами, что означает равенство всех трех сторон треугольника: $AB = BC = AC$. Следовательно, такой треугольник является равносторонним.

Ответ: треугольник равносторонний.

2) центр описанной окружности лежит на его стороне;

Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника. Если ее центр лежит на одной из сторон треугольника, то эта сторона является диаметром описанной окружности.

Согласно свойству вписанных углов, угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым (равен $90^\circ$). В данном случае, вершина треугольника, противолежащая стороне, на которой лежит центр описанной окружности, будет вершиной прямого угла.

Например, если центр лежит на стороне $AB$, то угол $C$ будет равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник является прямоугольным.

Ответ: треугольник прямоугольный.

3) центр вписанной окружности лежит на его высоте;

Центр вписанной окружности (инцентр) по определению является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Таким образом, он всегда лежит на каждой из трех биссектрис.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Если центр вписанной окружности лежит на этой высоте, это означает, что высота $BH$ совпадает с биссектрисой, проведенной из вершины $B$.

В треугольнике есть свойство: если высота, проведенная из некоторой вершины, совпадает с биссектрисой, проведенной из той же вершины, то этот треугольник является равнобедренным. Две стороны, образующие эту вершину, будут равны.

Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным со сторонами $AB = BC$.

Ответ: треугольник равнобедренный.

4) центр описанной окружности лежит на прямой, проходящей через его высоту?

Центр описанной окружности (циркумцентр) является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Это значит, что он обязательно лежит на каждом из серединных перпендикуляров.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Прямая, содержащая высоту $BH$, по определению перпендикулярна стороне $AC$. Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ также перпендикулярен стороне $AC$.

По условию, центр описанной окружности лежит на прямой, содержащей высоту $BH$. В то же время, он должен лежать и на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. Так как обе эти прямые (прямая высоты и серединный перпендикуляр) перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, они могут быть либо параллельны, либо совпадать. Поскольку у них есть общая точка — центр описанной окружности — они должны совпадать.

Это означает, что высота $BH$ является одновременно и серединным перпендикуляром к стороне $AC$. В треугольнике, где высота к стороне является и ее серединным перпендикуляром, этот треугольник является равнобедренным. Стороны, прилегающие к вершине, из которой проведена высота, равны.

Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным со сторонами $AB = BC$.

Ответ: треугольник равнобедренный.