Номер 1.167, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.167. Какой вид имеет треугольник, если для данного треугольника:

1) радиусы двух вневписанных окружностей равны;

2) центры вневписанных окружностей лежат на продолжениях медиан?

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$. Площадь треугольника обозначим как $S$, а полупериметр как $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Радиусы вневписанных окружностей, которые касаются сторон $a$, $b$ и $c$ соответственно, определяются следующими формулами: $r_a = \frac{S}{p-a}$, $r_b = \frac{S}{p-b}$, $r_c = \frac{S}{p-c}$.

Согласно условию задачи, радиусы двух вневписанных окружностей равны. Предположим, что равны радиусы окружностей, касающихся сторон $a$ и $b$. Это означает, что $r_a = r_b$.

Подставим выражения для радиусов в это равенство: $\frac{S}{p-a} = \frac{S}{p-b}$

Поскольку площадь невырожденного треугольника $S$ больше нуля ($S > 0$), мы можем сократить обе части уравнения на $S$: $\frac{1}{p-a} = \frac{1}{p-b}$

Из этого равенства следует, что знаменатели дробей также равны: $p-a = p-b$

Вычитая $p$ из обеих частей уравнения, мы получаем: $-a = -b$, что равносильно $a = b$.

Если две стороны треугольника равны, то такой треугольник является равнобедренным.

Ответ: равнобедренный треугольник.

Пусть $I_a$, $I_b$, $I_c$ — это центры вневписанных окружностей треугольника $ABC$, касающихся соответственно сторон $a$, $b$, $c$. Пусть $m_a$, $m_b$, $m_c$ — это медианы, проведенные из вершин $A$, $B$, $C$.

Центр вневписанной окружности $I_a$ является точкой пересечения биссектрисы внутреннего угла $A$ и биссектрис внешних углов $B$ и $C$. Из этого следует, что центр $I_a$ всегда находится на биссектрисе угла $A$.

Условие "центры вневписанных окружностей лежат на продолжениях медиан" из-за использования множественного числа ("центры", "медиан") следует трактовать так, что для каждой вершины соответствующий ей центр вневписанной окружности лежит на продолжении соответствующей медианы. То есть, центр $I_a$ лежит на продолжении медианы $m_a$, $I_b$ — на продолжении $m_b$, и $I_c$ — на продолжении $m_c$.

Рассмотрим центр $I_a$. Он расположен на биссектрисе угла $A$. По условию, он также расположен на продолжении медианы $m_a$. Обе эти линии (биссектриса из $A$ и медиана $m_a$) проходят через вершину $A$. Поскольку они имеют две общие точки (вершину $A$ и центр $I_a$, который не совпадает с $A$), эти линии должны совпадать.

Следовательно, биссектриса угла $A$ является также и медианой $m_a$. В треугольнике такое свойство выполняется только тогда, когда он равнобедренный относительно сторон, образующих данный угол. То есть, стороны $AB$ и $AC$ должны быть равны: $c = b$.

Применяя ту же логику для центра $I_b$, который лежит на продолжении медианы $m_b$, мы приходим к выводу, что биссектриса угла $B$ совпадает с медианой $m_b$. Это означает, что стороны $BA$ и $BC$ равны: $c = a$.

Аналогично, для центра $I_c$ на продолжении медианы $m_c$ биссектриса угла $C$ совпадает с медианой $m_c$, что влечет за собой равенство сторон $CA$ и $CB$: $b = a$.

Совмещая все полученные условия ($c=b$, $c=a$ и $b=a$), мы делаем вывод, что все три стороны треугольника равны между собой: $a=b=c$.

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним.

Ответ: равносторонний треугольник.