Номер 1.170, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.170. Могут ли две биссектрисы треугольника быть:

1) перпендикулярными;

2) параллельными? Обоснуйте ответ.

1) перпендикулярными

Рассмотрим две произвольные внутренние биссектрисы треугольника $ABC$, например, проведенные из вершин $A$ и $B$. Пусть эти биссектрисы пересекаются в точке $I$. Точка $I$ является одной из вершин треугольника $AIB$.

По определению биссектрисы, $\angle IAB = \frac{\angle A}{2}$ и $\angle IBA = \frac{\angle B}{2}$.

Сумма углов в треугольнике $AIB$ равна $180^\circ$:

$\angle AIB + \angle IAB + \angle IBA = 180^\circ$

Подставим значения углов $\angle IAB$ и $\angle IBA$:

$\angle AIB + \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 180^\circ$

Отсюда можно выразить угол $\angle AIB$ между биссектрисами:

$\angle AIB = 180^\circ - \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$

Из основного свойства углов треугольника $ABC$ мы знаем, что $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, откуда $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$.

Подставим это выражение в формулу для $\angle AIB$:

$\angle AIB = 180^\circ - \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\angle C}{2} = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}$

Предположим, что две биссектрисы могут быть перпендикулярны. Это бы означало, что угол между ними $\angle AIB = 90^\circ$.

Тогда $90^\circ = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}$, что влечет за собой $\frac{\angle C}{2} = 0$, то есть $\angle C = 0^\circ$.

Однако в любом невырожденном треугольнике все углы должны быть строго больше нуля. Следовательно, $\angle C > 0$, а значит $\angle AIB = 90^\circ + \frac{\angle C}{2} > 90^\circ$.

Угол между двумя внутренними биссектрисами треугольника всегда тупой, поэтому он не может быть прямым.

Ответ: Нет, две биссектрисы треугольника не могут быть перпендикулярными.

2) параллельными

Рассмотрим две произвольные внутренние биссектрисы треугольника $ABC$, например, проведенные из вершин $B$ и $C$. Обозначим их как прямые $l_B$ и $l_C$.

Рассмотрим сторону $BC$ треугольника как секущую для прямых $l_B$ и $l_C$. Биссектриса $l_B$ образует со стороной $BC$ угол, равный $\frac{\angle B}{2}$. Биссектриса $l_C$ образует со стороной $BC$ угол, равный $\frac{\angle C}{2}$. Эти углы являются внутренними односторонними углами при секущей $BC$.

Предположим, что биссектрисы $l_B$ и $l_C$ параллельны. По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов при секущей должна быть равна $180^\circ$. То есть, должно выполняться равенство:

$\frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} = 180^\circ$

Умножим обе части на 2:

$\angle B + \angle C = 360^\circ$

Это противоречит основному свойству треугольника, согласно которому сумма всех трех его углов равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$). Из этого свойства следует, что сумма двух любых углов треугольника всегда строго меньше $180^\circ$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о параллельности биссектрис было неверным.

Кроме того, известно, что все три внутренние биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности. Две прямые, которые пересекаются, по определению не могут быть параллельными.

Ответ: Нет, две биссектрисы треугольника не могут быть параллельными.