Номер 1.173, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.173. Докажите, что центры вписанной в равносторонний треугольник окружности и описанной около него совпадают, а их радиусы относятся как $2 : 1$.

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$. В равностороннем треугольнике все стороны равны ($AB = BC = AC$) и все углы равны $60^\circ$.

Докажем, что центры вписанной в равносторонний треугольник окружности и описанной около него совпадают.

Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Центр описанной окружности (циркумцентр) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Проведем в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ медиану $AD$ к стороне $BC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, он также является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Таким образом, отрезок $AD$ является одновременно:

• медианой (соединяет вершину $A$ с серединой $D$ стороны $BC$);
• высотой (перпендикулярен к стороне $BC$, то есть $AD \perp BC$);
• биссектрисой (делит угол $\angle BAC$ пополам).

Поскольку $AD$ перпендикулярен к стороне $BC$ и проходит через ее середину (точку $D$), то $AD$ также является серединным перпендикуляром к стороне $BC$.

Аналогичные рассуждения верны для медиан, проведенных из вершин $B$ и $C$. Они также будут являться высотами, биссектрисами и серединными перпендикулярами к противолежащим сторонам.

Следовательно, точка пересечения биссектрис (инцентр) и точка пересечения серединных перпендикуляров (циркумцентр) в равностороннем треугольнике совпадают. Эта же точка является и точкой пересечения медиан (центроидом), и точкой пересечения высот (ортоцентром).

Ответ: центры вписанной и описанной окружностей в равностороннем треугольнике совпадают.

Докажем, что их радиусы относятся как 2 : 1.

Пусть $O$ — общая точка, являющаяся центром обеих окружностей. Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Радиус описанной окружности $R$ — это расстояние от центра до любой из вершин треугольника. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AD$, который соединяет вершину $A$ с центром, то $R = AO$.

Радиус вписанной окружности $r$ — это расстояние от центра до любой из сторон треугольника. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на сторону. Так как $AD \perp BC$, то перпендикуляр из $O$ на сторону $BC$ — это отрезок $OD$. Следовательно, $r = OD$.

Как было показано в первой части, точка $O$ является также точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника $ABC$. По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Следовательно, для медианы $AD$ выполняется соотношение:

$AO : OD = 2 : 1$

Подставляя $R = AO$ и $r = OD$ в это соотношение, получаем:

$R : r = 2 : 1$

Ответ: радиус описанной окружности ($R$) и радиус вписанной окружности ($r$) для равностороннего треугольника относятся как $R:r = 2:1$.