Номер 1.177, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.177. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC пересекаются в точке D на стороне BC. Докажите, что:

а) точка D – середина отрезка BC;

б) $\angle A = \angle B + \angle C$.

а)

По определению, любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. Следовательно, она равноудалена от точек $A$ и $B$. Это означает, что $DA = DB$.

Точка $D$ также лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. Следовательно, она равноудалена от точек $A$ и $C$. Это означает, что $DA = DC$.

Из двух полученных равенств $DA = DB$ и $DA = DC$ следует, что $DB = DC$.

Поскольку точка $D$ лежит на стороне $BC$ и делит ее на два равных отрезка ($DB = DC$), то $D$ является серединой отрезка $BC$.

Ответ: что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим треугольник $ADB$. Так как из пункта а) мы знаем, что $DA = DB$, то треугольник $ADB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle DAB = \angle DBA$. Угол $\angle DBA$ — это угол $\angle B$ треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle DAB = \angle B$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Так как из пункта а) мы знаем, что $DA = DC$, то треугольник $ADC$ также является равнобедренным. Углы при основании этого треугольника равны, следовательно, $\angle DAC = \angle DCA$. Угол $\angle DCA$ — это угол $\angle C$ треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle DAC = \angle C$.

Угол $\angle A$ треугольника $ABC$ (то есть $\angle BAC$) состоит из двух углов: $\angle DAB$ и $\angle DAC$.

$\angle A = \angle BAC = \angle DAB + \angle DAC$.

Подставим в это равенство найденные нами соотношения:

$\angle A = \angle B + \angle C$.

Ответ: что и требовалось доказать.