Номер 1.181, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.181. Из вершины $B$ треугольника $ABC$ проведена высота $BH$, биссектриса $BE$ и радиус $BO$ описанной окружности. Докажите, что прямая $BE$ является биссектрисой угла $OBH$ (рис. 1.83).

Для доказательства того, что прямая $BE$ является биссектрисой угла $OBH$, необходимо показать, что $\angle OBE = \angle EBH$. Выразим величины этих углов через углы треугольника $ABC$, которые обозначим как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.

Нахождение угла EBH
Поскольку $BH$ — высота, проведенная к стороне $AC$, то треугольник $BHC$ является прямоугольным, и, следовательно, $\angle HBC = 90^\circ - \angle C$.
По условию $BE$ — биссектриса угла $\angle ABC$, поэтому $\angle EBC = \frac{1}{2}\angle B$.
Исходя из расположения лучей на рисунке (которое соответствует случаю, когда $\angle C > \angle A$), получаем: $\angle EBH = \angle EBC - \angle HBC$.
Подставим выражения для углов: $\angle EBH = \frac{1}{2}\angle B - (90^\circ - \angle C)$.
Воспользуемся свойством суммы углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, откуда $\frac{1}{2}\angle B = 90^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2}$.
Теперь подставим это в выражение для $\angle EBH$:
$\angle EBH = \left(90^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2}\right) - (90^\circ - \angle C) = 90^\circ - \frac{\angle A}{2} - \frac{\angle C}{2} - 90^\circ + \angle C = \frac{\angle C - \angle A}{2}$.

Нахождение угла OBE
Так как $O$ — центр описанной окружности, отрезки $OB$ и $OC$ равны как радиусы. Следовательно, треугольник $OBC$ — равнобедренный.
Угол $\angle BOC$ является центральным и опирается на ту же дугу, что и вписанный угол $\angle A$. Значит, $\angle BOC = 2\angle A$.
В равнобедренном треугольнике $OBC$ углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^\circ - \angle BOC}{2} = \frac{180^\circ - 2\angle A}{2} = 90^\circ - \angle A$.
Для данного расположения лучей: $\angle OBE = \angle OBC - \angle EBC$.
Подставим известные значения: $\angle OBE = (90^\circ - \angle A) - \frac{1}{2}\angle B$.
Снова используя $\frac{1}{2}\angle B = 90^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2}$, получаем:
$\angle OBE = (90^\circ - \angle A) - \left(90^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2}\right) = 90^\circ - \angle A - 90^\circ + \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} = \frac{\angle C - \angle A}{2}$.

Таким образом, мы показали, что $\angle EBH = \frac{\angle C - \angle A}{2}$ и $\angle OBE = \frac{\angle C - \angle A}{2}$. Отсюда следует, что $\angle EBH = \angle OBE$.
Это означает, что прямая $BE$ делит угол $OBH$ пополам, то есть является его биссектрисой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что прямая BE является биссектрисой угла OBH, доказано.