Номер 1.186, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.186. Медианы $AA_1$ и $BB_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом (рис. 1.84).

Докажите, что выполняется равенство $AB = CO$.

Рис. 1.84

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами медиан треугольника и свойствами прямоугольного треугольника.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AA_1$ и $BB_1$ — медианы, пересекающиеся в точке $O$. По свойству медиан, точка их пересечения $O$ является центроидом треугольника.

2. По условию задачи, медианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются под прямым углом. Это означает, что угол $\angle AOB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным, где $AO$ и $BO$ — катеты, а $AB$ — гипотенуза.

3. Проведем третью медиану $CC_1$ из вершины $C$ к середине стороны $AB$. Точка $C_1$ является серединой стороны $AB$. Так как все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, точка $O$ также лежит на медиане $CC_1$.

4. В прямоугольном треугольнике $AOB$ отрезок $OC_1$ соединяет вершину прямого угла $O$ с серединой гипотенузы $C_1$. Таким образом, $OC_1$ является медианой прямоугольного треугольника $AOB$, проведенной к гипотенузе.

5. Согласно свойству медианы, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, ее длина равна половине длины гипотенузы. Для треугольника $AOB$ это означает: $OC_1 = \frac{1}{2}AB$.

6. Точка $O$ — центроид треугольника $ABC$. По свойству центроида, он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $CC_1$ это свойство записывается как $CO : OC_1 = 2 : 1$. Из этого соотношения следует, что $CO = 2 \cdot OC_1$.

7. Теперь подставим выражение для $OC_1$ из пункта 5 в формулу из пункта 6: $CO = 2 \cdot (\frac{1}{2}AB)$.

8. Сократив 2, получаем требуемое равенство: $CO = AB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB = CO$ доказано на основе свойств медиан треугольника и свойства медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника.