Номер 1.190, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.8. Вписанные и описанные четырехугольники. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.190, страница 50.

Учебник rus.

1.190. Докажите, что:

1) любая трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная;

2) любой параллелограмм, вписанный в окружность, есть прямоугольник;

3) любой ромб, вписанный в окружность, есть квадрат.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

1)Пусть $ABCD$ — трапеция, вписанная в окружность, где $AD$ и $BC$ — её основания, то есть $AD \parallel BC$. Согласно свойству вписанной трапеции, дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. В нашем случае, хорды $AD$ и $BC$ параллельны, значит, дуги $AB$ и $CD$, заключенные между ними, равны. Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, боковые стороны трапеции, хорды $AB$ и $CD$, равны между собой. Трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)Пусть $ABCD$ — параллелограмм, вписанный в окружность. По определению параллелограмма, его противоположные углы равны: $\angle{A} = \angle{C}$ и $\angle{B} = \angle{D}$. Так как параллелограмм вписан в окружность, он является вписанным четырехугольником. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle{A} + \angle{C} = 180^\circ$. Используя оба свойства, получаем систему уравнений:$$ \begin{cases} \angle{A} = \angle{C} \\ \angle{A} + \angle{C} = 180^\circ \end{cases} $$Подставив первое уравнение во второе, имеем $\angle{A} + \angle{A} = 180^\circ$, или $2\angle{A} = 180^\circ$, откуда $\angle{A} = 90^\circ$. Поскольку в параллелограмме все углы попарно равны, а сумма соседних углов равна $180^\circ$, то все его углы равны $90^\circ$. Параллелограмм, все углы которого прямые, является прямоугольником.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3)Пусть $ABCD$ — ромб, вписанный в окружность. Ромб — это частный случай параллелограмма, у которого все стороны равны. Из доказательства в пункте 2) следует, что любой параллелограмм, вписанный в окружность, является прямоугольником. Следовательно, вписанный ромб $ABCD$ также является и прямоугольником. Фигура, которая одновременно является ромбом (все стороны равны) и прямоугольником (все углы прямые), по определению является квадратом.

Ответ: Что и требовалось доказать.