Вопросы, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Докажите самостоятельно

Используя метод, показанный в теореме 3, докажите, что окружность, вписанная в треугольник ADK, касается стороны BC четырехугольника ABCD.

1. Что такое вписанный и описанный многоугольники?

2. Какой угол называют вписанным?

3. Какая зависимость существует между вписанным углом и дугой, на которую он опирается (соответствующим центральным углом)? Сформулируйте и докажите соответствующее свойство.

4. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов вписанного четырехугольника.

5. Сформулируйте и докажите теорему об описанных четырехугольниках.

6. В какие параллелограммы можно вписать окружность?

Около каких параллелограммов можно описать окружность?

7. Какой вид имеет трапеция:

1) вписанная в окружность;

2) описанная около окружности?

1. Что такое вписанный и описанный многоугольники?

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Сама окружность при этом называется описанной около многоугольника.

Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник.

Ответ: Вписанный многоугольник — тот, у которого все вершины лежат на окружности. Описанный многоугольник — тот, у которого все стороны касаются окружности.

2. Какой угол называют вписанным?

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (содержат хорды этой окружности).

Ответ: Угол, вершина которого находится на окружности, а стороны являются хордами этой окружности.

3. Какая зависимость существует между вписанным углом и дугой, на которую он опирается (соответствующим центральным углом)? Сформулируйте и докажите соответствующее свойство.

Свойство (Теорема о вписанном угле): Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается, или половине соответствующего этой дуге центрального угла.

Доказательство:
Рассмотрим вписанный угол $ABC$ и центр окружности $O$. Возможны три случая расположения центра окружности относительно угла.

Случай 1: Один из лучей угла проходит через центр окружности.
Пусть луч $BC$ является диаметром. Треугольник $AOB$ — равнобедренный, так как $OA = OB$ как радиусы. Следовательно, углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Угол $AOC$ — внешний угол треугольника $AOB$, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AOC = \angle OAB + \angle OBA = 2\angle OBA = 2\angle ABC$. Так как градусная мера дуги $AC$ равна величине центрального угла $\angle AOC$, получаем: $\angle ABC = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$.

Случай 2: Центр окружности лежит внутри угла.
Проведем диаметр $BD$ через вершину $B$. Этот диаметр разделит угол $ABC$ на два угла: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. По доказанному в случае 1: $\angle ABD = \frac{1}{2} \text{дуги } AD$ $\angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуги } DC$ Тогда $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуги } AD + \frac{1}{2} \text{дуги } DC = \frac{1}{2}(\text{дуга } AD + \text{дуга } DC) = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$.

Случай 3: Центр окружности лежит вне угла.
Проведем диаметр $BD$ через вершину $B$. По доказанному в случае 1: $\angle ABD = \frac{1}{2} \text{дуги } AD$ $\angle CBD = \frac{1}{2} \text{дуги } CD$ Тогда $\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD = \frac{1}{2} \text{дуги } AD - \frac{1}{2} \text{дуги } CD = \frac{1}{2}(\text{дуга } AD - \text{дуга } CD) = \frac{1}{2} \text{дуги } AC$. Теорема доказана для всех случаев.

Ответ: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

4. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов вписанного четырехугольника.

Теорема: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Доказательство:
Пусть четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Рассмотрим противолежащие углы $\angle A$ и $\angle C$. Угол $\angle A$ — вписанный и опирается на дугу $BCD$. По теореме о вписанном угле, его величина равна $\angle A = \frac{1}{2} \text{дуги } BCD$. Угол $\angle C$ — вписанный и опирается на дугу $DAB$. Его величина равна $\angle C = \frac{1}{2} \text{дуги } DAB$. Сложим величины этих углов: $\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \text{дуги } BCD + \frac{1}{2} \text{дуги } DAB = \frac{1}{2} (\text{дуга } BCD + \text{дуга } DAB)$. Дуги $BCD$ и $DAB$ вместе составляют полную окружность, градусная мера которой равна $360^\circ$. Следовательно, $\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$. Аналогично доказывается, что $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Теорема доказана.

Ответ: Теорема: Сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырехугольника равна $180^\circ$.

5. Сформулируйте и докажите теорему об описанных четырехугольниках.

Теорема (Теорема Пито): В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

Доказательство (в одну сторону):
Докажем, что если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противолежащих сторон равны. Пусть в четырехугольник $ABCD$ вписана окружность, которая касается его сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ в точках $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны: $AK = AN$ $BK = BL$ $CL = CM$ $DM = DN$ Найдем сумму длин противолежащих сторон $AB$ и $CD$: $AB + CD = (AK + KB) + (CM + MD) = AK + BK + CM + DM$. Теперь найдем сумму длин других противолежащих сторон $BC$ и $DA$: $BC + DA = (BL + LC) + (DN + NA) = BL + CL + DN + AN$. Сравнивая правые части этих равенств и учитывая равенство отрезков касательных, видим, что они равны: $AK+BK+CM+DM = AN+BL+CL+DN$. Следовательно, $AB + CD = BC + DA$. Теорема доказана.

Ответ: Теорема: В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. ($AB + CD = BC + DA$).

6. В какие параллелограммы можно вписать окружность? Около каких параллелограммов можно описать окружность?

В какие параллелограммы можно вписать окружность?
Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы его противолежащих сторон равны. Для параллелограмма $ABCD$ противолежащие стороны равны: $AB=CD$ и $BC=DA$. Условие вписанной окружности: $AB + CD = BC + DA$. Подставим свойства параллелограмма: $AB + AB = BC + BC$, что дает $2AB = 2BC$, откуда $AB=BC$. Если у параллелограмма смежные стороны равны, то все его стороны равны. Такой параллелограмм является ромбом.

Около каких параллелограммов можно описать окружность?
Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. У параллелограмма противолежащие углы равны: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. Условие описанной окружности: $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Подставим свойство параллелограмма: $\angle A + \angle A = 180^\circ$, что дает $2\angle A = 180^\circ$, откуда $\angle A = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Ответ: Вписать окружность можно в ромб. Описать окружность можно около прямоугольника.

7. Какой вид имеет трапеция: 1) вписанная в окружность; 2) описанная около окружности?

1) вписанная в окружность;
Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной (равнобокой) трапецией. Доказательство: Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD || BC$ вписана в окружность. Так как хорды $AD$ и $BC$ параллельны, то дуги, заключенные между ними, равны: дуга $AB$ = дуга $CD$. Равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$. Трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной.

2) описанная около окружности?
Трапеция, описанная около окружности, это трапеция, у которой сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Доказательство: Это следует напрямую из теоремы Пито для описанных четырехугольников. Если $a$ и $b$ — основания трапеции, а $c$ и $d$ — её боковые стороны, то для описанной трапеции выполняется равенство $a + b = c + d$.

Ответ: 1) Вписанная трапеция является равнобедренной. 2) Описанная трапеция — это трапеция, у которой сумма оснований равна сумме боковых сторон.