Номер 1.185, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.185. Вне треугольника $ABC$ построены квадраты $ABDE$ и $ACFG$ со сторонами $AB$ и $AC$, причем точки $D$ и $F$ расположены напротив вершины $A$. Докажите, что отрезок $EG$ перпендикулярен медиане треугольника, проведенной из вершины $A$, и что он в два раза длиннее этой медианы.

Пусть $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$. Это означает, что $M$ является серединой стороны $BC$. Требуется доказать, что отрезок $EG$ перпендикулярен медиане $AM$ ($EG \perp AM$) и его длина вдвое больше длины медианы ($EG = 2AM$).

Для доказательства воспользуемся методом векторов. Поместим начало координат в вершину $A$. Тогда векторы, проведенные из $A$ к вершинам $B$ и $C$, будут $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Медиана $AM$ выражается через эти векторы как полусумма: $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.

По условию, $ABDE$ и $ACFG$ — квадраты, построенные на сторонах $AB$ и $AC$ во внешнюю сторону. Это означает, что векторы $\vec{AE}$ и $\vec{AG}$ получаются из векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ поворотом на $90^\circ$ вокруг точки $A$. Пусть $R_{+90}$ — оператор поворота на $90^\circ$ против часовой стрелки. Направление поворота ("внешнее") для двух сторон будет противоположным. Если для получения $\vec{AG}$ из $\vec{AC}$ мы применяем поворот на $+90^\circ$, то для получения $\vec{AE}$ из $\vec{AB}$ — на $-90^\circ$. Запишем это так: $\vec{AG} = R_{+90}(\vec{AC})$ $\vec{AE} = R_{-90}(\vec{AB})$

Выразим вектор $\vec{EG}$, соединяющий точки $E$ и $G$: $\vec{EG} = \vec{AG} - \vec{AE} = R_{+90}(\vec{AC}) - R_{-90}(\vec{AB})$

Воспользуемся свойством операторов поворота: $R_{-90}(\vec{v}) = -R_{+90}(\vec{v})$. Тогда: $\vec{EG} = R_{+90}(\vec{AC}) - (-R_{+90}(\vec{AB})) = R_{+90}(\vec{AC}) + R_{+90}(\vec{AB})$

Так как поворот является линейным преобразованием, оператор можно вынести за скобки: $\vec{EG} = R_{+90}(\vec{AB} + \vec{AC})$

Теперь свяжем это выражение с вектором медианы. Из формулы для медианы имеем: $\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AM}$. Подставим это в наше равенство: $\vec{EG} = R_{+90}(2\vec{AM})$

Это конечное векторное равенство полностью доказывает оба утверждения задачи. Во-первых, оно показывает, что вектор $\vec{EG}$ получается из вектора $2\vec{AM}$ поворотом на $90^\circ$. Поворот на $90^\circ$ означает, что итоговый вектор перпендикулярен исходному. Следовательно, $\vec{EG} \perp 2\vec{AM}$, а значит и $EG \perp AM$. Во-вторых, поворот сохраняет длину вектора, поэтому $|\vec{EG}| = |2\vec{AM}| = 2|\vec{AM}|$. Таким образом, $EG = 2AM$.

Ответ: Утверждение, что отрезок $EG$ перпендикулярен медиане треугольника, проведенной из вершины $A$, и что он в два раза длиннее этой медианы, доказано.