Номер 1.183, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.183. Докажите, что в любом треугольнике $ABC$ биссектриса $AE$ лежит между медианой $AN$ и высотой $AH$.

1.183. Для доказательства утверждения рассмотрим треугольник $ABC$ и проведенные из вершины $A$ высоту $AH$, биссектрису $AE$ и медиану $AN$. Точки $H, E, N$ лежат на прямой, содержащей сторону $BC$. Нам нужно доказать, что точка $E$ лежит на отрезке $HN$.

Рассмотрим три случая в зависимости от соотношения длин сторон $AB$ и $AC$.

Случай 1: $AB = AC$ (равнобедренный треугольник).

В равнобедренном треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают. Следовательно, точки $H, E, N$ совпадают. В этом случае утверждение, что $E$ лежит между $H$ и $N$, является верным (отрезок $HN$ вырождается в точку).

Случай 2: Стороны не равны.

Пусть стороны $AB$ и $AC$ не равны. Без ограничения общности предположим, что $AC > AB$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, следовательно, $\angle B > \angle C$.

Мы докажем, что на прямой $BC$ точки расположены в порядке $B, H, E, N, C$ (если углы $B$ и $C$ острые). Для этого сравним положение точек $H, E, N$ относительно друг друга.

1. Сравнение положения высоты $AH$ и медианы $AN$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $AHB$ и $AHC$. По теореме Пифагора:

$AH^2 = AB^2 - BH^2$

$AH^2 = AC^2 - CH^2$

Приравнивая правые части, получаем: $AB^2 - BH^2 = AC^2 - CH^2$, откуда $AC^2 - AB^2 = CH^2 - BH^2$.

Так как мы предположили, что $AC > AB$, то $AC^2 - AB^2 > 0$. Следовательно, $CH^2 - BH^2 > 0$, что означает $CH > BH$.

Медиана $AN$ делит сторону $BC$ пополам, то есть $N$ — середина $BC$, и $BN = CN = \frac{1}{2}BC$.

Из неравенства $CH > BH$ и равенства $CH + BH = BC$ (для случая остроугольного треугольника) следует, что $BH < \frac{1}{2}BC$.

Таким образом, $BH < BN$. Поскольку обе точки $H$ и $N$ лежат на стороне $BC$, это означает, что точка $H$ находится между точками $B$ и $N$.

2. Сравнение положения биссектрисы $AE$ и медианы $AN$.

По свойству биссектрисы треугольника:

$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}$

Так как по нашему предположению $AC > AB$, то $\frac{AB}{AC} < 1$. Следовательно, $\frac{BE}{EC} < 1$, что означает $BE < EC$.

Из неравенства $BE < EC$ и равенства $BE + EC = BC$ следует, что $BE < \frac{1}{2}BC$.

Поскольку $BN = \frac{1}{2}BC$, мы получаем $BE < BN$. Это означает, что точка $E$ находится между точками $B$ и $N$.

3. Сравнение положения высоты $AH$ и биссектрисы $AE$.

Рассмотрим углы, которые образуют высота и биссектриса со сторонами треугольника. В прямоугольных треугольниках $AHB$ и $AHC$ (для остроугольного $\triangle ABC$):

$\angle BAH = 90^\circ - \angle B$

$\angle CAH = 90^\circ - \angle C$

Так как мы предположили $\angle B > \angle C$, то $90^\circ - \angle B < 90^\circ - \angle C$, а значит $\angle BAH < \angle CAH$.

Биссектриса $AE$ делит угол $A$ пополам: $\angle BAE = \angle CAE = \frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{2}(\angle BAH + \angle CAH)$.

Так как $\angle BAH < \angle CAH$, то среднее арифметическое этих углов будет больше меньшего из них: $\angle BAH < \frac{1}{2}(\angle BAH + \angle CAH) = \angle BAE$.

Неравенство $\angle BAH < \angle BAE$ означает, что луч $AH$ лежит между стороной $AB$ и лучом $AE$. Следовательно, на прямой $BC$ точка $H$ лежит между $B$ и $E$.

Заключение для случая $AC > AB$:

Из пунктов 1, 2 и 3 мы получили следующие взаимные расположения точек:

• $H$ лежит между $B$ и $N$.
• $E$ лежит между $B$ и $N$.
• $H$ лежит между $B$ и $E$.

Объединяя эти факты, получаем следующий порядок точек на прямой $BC$: $B, H, E, N, C$. Из этого порядка следует, что точка $E$ лежит между точками $H$ и $N$.

Случай 3: $AB > AC$.

Этот случай рассматривается аналогично. Предположение $AB > AC$ приводит к $\angle C > \angle B$. Все неравенства в рассуждениях меняются на противоположные, и в результате мы получим порядок точек $B, N, E, H, C$. В этом случае точка $E$ также лежит между точками $N$ и $H$.

Таким образом, во всех случаях биссектриса $AE$ лежит между медианой $AN$ и высотой $AH$.

Ответ: Утверждение доказано. В любом треугольнике $ABC$ основание биссектрисы $E$, проведенной из вершины $A$, лежит на отрезке между основаниями высоты $H$ и медианы $N$, проведенных из той же вершины.