Номер 1.179, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.179. Докажите, что сумма диаметров вписанной в прямоугольный треугольник окружности и описанной около него равна сумме катетов этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, и гипотенузой $c$. Обозначим диаметр вписанной окружности как $d$, а её радиус как $r$ (то есть $d = 2r$). Обозначим диаметр описанной окружности как $D$, а её радиус как $R$ (то есть $D = 2R$). Требуется доказать, что $d + D = a + b$.

1. Найдем диаметр описанной окружности D.

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. Следовательно, радиус этой окружности $R$ равен половине длины гипотенузы $c$. $$R = \frac{c}{2}$$ Диаметр описанной окружности $D$ равен двум радиусам, а значит, он равен длине гипотенузы: $$D = 2R = 2 \cdot \frac{c}{2} = c$$

2. Найдем диаметр вписанной окружности d.

Для любого треугольника радиус вписанной окружности $r$ связан с его площадью $S$ и полупериметром $p$ формулой $r = S/p$. Для прямоугольного треугольника площадь $S = \frac{1}{2}ab$, а полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$. Подставив эти значения, получим: $$r = \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{a+b+c}{2}} = \frac{ab}{a+b+c}$$ Однако существует более удобная формула для радиуса вписанной окружности именно в прямоугольный треугольник: $$r = \frac{a+b-c}{2}$$ Диаметр вписанной окружности $d$ равен $2r$: $$d = 2r = 2 \cdot \frac{a+b-c}{2} = a+b-c$$

3. Сложим диаметры.

Теперь найдем сумму диаметров вписанной и описанной окружностей, используя полученные выражения для $d$ и $D$: $$d + D = (a+b-c) + c$$ Упрощая это выражение, получаем: $$d + D = a+b$$ Таким образом, мы доказали, что сумма диаметров вписанной в прямоугольный треугольник окружности и описанной около него равна сумме катетов этого треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма диаметров $d+D$ равна $a+b$, что является суммой катетов.