Номер 1.178, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.178. Сколько существует окружностей, касающихся трех попарно пересекающихся прямых, не проходящих через одну точку? Постройте эти окружности.

Три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку, образуют на плоскости треугольник. Обозначим эти прямые как $l_1$, $l_2$, $l_3$, а вершины образованного ими треугольника — $A$, $B$ и $C$.

Окружность, касающаяся трех прямых, должна быть равноудалена от них. Центр такой окружности — это точка, равноудаленная от трех прямых. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это пара биссектрис углов, образованных этими прямыми. Следовательно, центр искомой окружности должен быть точкой пересечения трех биссектрис, по одной для каждой пары прямых (т.е. для каждого из трех углов, образованных линиями).

Сколько существует окружностей, касающихся трех попарно пересекающихся прямых, не проходящих через одну точку?

Рассмотрим возможные комбинации биссектрис внутренних и внешних углов треугольника $ABC$.

1. Вписанная окружность. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис внутренних углов треугольника. Известно, что три биссектрисы внутренних углов треугольника всегда пересекаются в одной точке — инцентре ($I$). Эта точка равноудалена от всех трех сторон треугольника. Следовательно, существует одна окружность, расположенная внутри треугольника и касающаяся всех его трех сторон. Это вписанная окружность.

2. Вневписанные окружности. Центры других искомых окружностей лежат на пересечениях биссектрис одного внутреннего и двух внешних углов.

• Биссектриса внутреннего угла при вершине $A$ и биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ пересекаются в одной точке ($I_a$). Эта точка является центром окружности, которая касается стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Такая окружность называется вневписанной.
• Аналогично, существуют еще две вневписанные окружности с центрами $I_b$ и $I_c$, каждая из которых касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Таким образом, для любого треугольника, образованного тремя такими прямыми, существует одна вписанная окружность и три вневписанные окружности. Всего $1 + 3 = 4$ окружности.

Ответ: Существует 4 таких окружности.

Постройте эти окружности.

Пусть даны три прямые, образующие треугольник $ABC$.

1. Построение вписанной окружности:

1. С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису любого внутреннего угла, например, угла $A$.
2. Постройте биссектрису другого внутреннего угла, например, угла $B$.
3. Точка пересечения этих двух биссектрис, $I$, является центром вписанной окружности (инцентром).
4. Из точки $I$ опустите перпендикуляр на любую из сторон треугольника (например, на сторону $AB$). Обозначим основание перпендикуляра точкой $P$.
5. Отрезок $IP$ является радиусом $r$ вписанной окружности.
6. Постройте окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r = |IP|$.

2. Построение вневписанных окружностей:

Рассмотрим построение вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$ (противолежащей вершине $A$).

1. Продлите стороны $AB$ и $AC$ за вершины $B$ и $C$.
2. Постройте биссектрису внешнего угла при вершине $B$.
3. Постройте биссектрису внешнего угла при вершине $C$.
4. Точка пересечения этих двух биссектрис, $I_a$, является центром вневписанной окружности (эксцентром). (Альтернативно, можно построить биссектрису внутреннего угла $A$ и биссектрису одного из внешних углов, $B$ или $C$ — они также пересекутся в точке $I_a$).
5. Из точки $I_a$ опустите перпендикуляр на любую из трех прямых (например, на прямую $BC$). Обозначим основание перпендикуляра точкой $Q$.
6. Отрезок $I_aQ$ является радиусом $R_a$ вневписанной окружности.
7. Постройте окружность с центром в точке $I_a$ и радиусом $R_a = |I_aQ|$.

Две другие вневписанные окружности строятся аналогично для двух других сторон треугольника.

На рисунке показан треугольник $ABC$, образованный тремя прямыми, и четыре окружности, касающиеся этих прямых: одна вписанная (зеленая, центр $I$) и три вневписанные (красная, синяя и фиолетовая, с центрами $I_a$, $I_b$, $I_c$).

Ответ: Всего существует 4 окружности, касающиеся трех заданных прямых: одна вписанная (внутри треугольника) и три вневписанные (снаружи). Построение этих окружностей сводится к нахождению их центров, которые являются точками пересечения биссектрис внутренних и внешних углов треугольника, образованного данными прямыми. Центр вписанной окружности — точка пересечения трех внутренних биссектрис. Центр каждой из вневписанных окружностей — точка пересечения одной внутренней и двух внешних биссектрис.