Номер 1.182, страница 45 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.182. Даны три прямые, проходящие через точку O, и точка A, лежащая на одной из них. Постройте треугольник так, чтобы:

1) одна из его вершин была бы в точке A и высоты лежали бы на данных прямых;

2) одна из его вершин была бы в точке A и медианы лежали бы на данных прямых;

3) одна из его вершин была бы в точке A и биссектрисы лежали бы на данных прямых;

4) середина одной из сторон совпала бы с точкой A и данные прямые были бы серединными перпендикулярами к его сторонам.

Рис. 1.83

Обозначим данные прямые, проходящие через точку $O$, как $l_1$, $l_2$ и $l_3$. Точка $A$ лежит на одной из них, для определенности пусть $A$ лежит на $l_1$. Искомый треугольник обозначим $\triangle PQR$.

Пусть вершины искомого треугольника – $A, B, C$. По условию, одна из вершин находится в точке $A$. Высоты треугольника лежат на прямых $l_1, l_2, l_3$, которые пересекаются в точке $O$. Следовательно, точка $O$ является ортоцентром треугольника $ABC$.

Пусть высота из вершины $A$ лежит на прямой $l_1$, высота из $B$ – на $l_2$, и высота из $C$ – на $l_3$.Из определения высоты следует, что она перпендикулярна противолежащей стороне. Таким образом, мы имеем следующие соотношения:

• Высота из $A$ (на $l_1$) перпендикулярна стороне $BC$. Значит, $l_1 \perp BC$.
• Высота из $B$ (на $l_2$) перпендикулярна стороне $AC$. Значит, $l_2 \perp AC$.
• Высота из $C$ (на $l_3$) перпендикулярна стороне $AB$. Значит, $l_3 \perp AB$.

Из этих соотношений вытекает следующий алгоритм построения:

1. Поскольку сторона $AB$ должна быть перпендикулярна прямой $l_3$ и проходить через точку $A$, строим прямую $m_{AB}$ через точку $A$ перпендикулярно $l_3$.
2. Аналогично, сторона $AC$ должна быть перпендикулярна прямой $l_2$ и проходить через точку $A$. Строим прямую $m_{AC}$ через точку $A$ перпендикулярно $l_2$.
3. Вершина $B$ является общей точкой стороны $AB$ (лежащей на прямой $m_{AB}$) и высоты из вершины $B$ (лежащей на прямой $l_2$). Таким образом, точка $B$ есть пересечение прямых $m_{AB}$ и $l_2$.
4. Вершина $C$ является общей точкой стороны $AC$ (лежащей на прямой $m_{AC}$) и высоты из вершины $C$ (лежащей на прямой $l_3$). Таким образом, точка $C$ есть пересечение прямых $m_{AC}$ и $l_3$.
5. Соединив точки $A, B, C$, получаем искомый треугольник. Проверим, что высота из $A$ лежит на $l_1$. В построенном $\triangle ABC$ ортоцентром является точка $O$. Высота из $A$ должна проходить через $O$, а так как точка $A$ по условию лежит на $l_1$, то высота из $A$ совпадает с прямой $AO$, то есть с $l_1$.

Ответ: Построение выполняется в четыре шага:1. Строим прямую через $A$ перпендикулярно $l_3$.2. Строим прямую через $A$ перпендикулярно $l_2$.3. Находим вершину $B$ как пересечение первой построенной прямой с прямой $l_2$.4. Находим вершину $C$ как пересечение второй построенной прямой с прямой $l_3$.Треугольник $ABC$ – искомый.

Пусть вершины искомого треугольника – $A, B, C$. Вершина $A$ задана. Медианы лежат на прямых $l_1, l_2, l_3$, которые пересекаются в точке $O$. Следовательно, $O$ – точка пересечения медиан, то есть центроид треугольника.

Пусть медиана из вершины $A$ лежит на $l_1$, из $B$ – на $l_2$, из $C$ – на $l_3$. Обозначим середину стороны $BC$ как $M_a$.

Ключевое свойство центроида: он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. То есть $AO : OM_a = 2:1$.

Алгоритм построения:

1. Так как точки $A$ и $O$ известны, мы можем найти положение точки $M_a$ – середины стороны $BC$. Точка $M_a$ лежит на прямой $l_1$ (продолжении отрезка $AO$ за точку $O$) на расстоянии $OM_a = \frac{1}{2}AO$. Для построения можно найти середину отрезка $AO$ и отложить такое же расстояние от точки $O$ в противоположную сторону от $A$.
2. Теперь мы знаем точку $M_a$, которая является серединой искомого отрезка $BC$.
3. Вершина $B$ лежит на прямой $l_2$, а вершина $C$ – на прямой $l_3$.
4. Поскольку $M_a$ – середина $BC$, точка $C$ симметрична точке $B$ относительно $M_a$. Это означает, что если мы отразим всю прямую $l_2$ (на которой лежит $B$) относительно точки $M_a$, то полученная прямая $l'_2$ будет содержать точку $C$.
5. Строим прямую $l'_2$, симметричную $l_2$ относительно точки $M_a$. (Для этого можно взять две любые точки на $l_2$, отразить их относительно $M_a$ и провести через них прямую).
6. Точка $C$ должна лежать как на прямой $l_3$, так и на построенной прямой $l'_2$. Следовательно, $C$ – точка пересечения $l_3$ и $l'_2$.
7. Найдя вершину $C$, находим вершину $B$ как точку, симметричную $C$ относительно $M_a$. (Либо как пересечение прямой $CM_a$ и прямой $l_2$).
8. Соединяем точки $A, B, C$ и получаем искомый треугольник.

Ответ: Построение выполняется в четыре шага:1. На прямой $l_1$ строим точку $M_a$ (середину будущей стороны $BC$) так, что $O$ – середина отрезка $AM_a$.2. Строим прямую $l'_2$, симметричную прямой $l_2$ относительно точки $M_a$.3. Находим вершину $C$ как точку пересечения прямых $l_3$ и $l'_2$.4. Находим вершину $B$ как точку, симметричную $C$ относительно $M_a$.Треугольник $ABC$ – искомый.

Пусть вершины искомого треугольника – $A, B, C$. Вершина $A$ задана. Биссектрисы углов треугольника лежат на прямых $l_1, l_2, l_3$, которые пересекаются в точке $O$. Следовательно, $O$ – инцентр (центр вписанной окружности) треугольника.

Прямая $l_1$ является биссектрисой угла $BAC$, $l_2$ – биссектрисой угла $ABC$, $l_3$ – биссектрисой угла $BCA$.

Воспользуемся свойством биссектрисы: она является осью симметрии для сторон угла.

• Прямая $AC$ симметрична прямой $AB$ относительно биссектрисы $l_1$.
• Прямая $BC$ симметрична прямой $AB$ относительно биссектрисы $l_2$.
• Прямая $BC$ симметрична прямой $AC$ относительно биссектрисы $l_3$.

Углы искомого треугольника можно найти, зная углы между биссектрисами. Например, угол между биссектрисами $l_2$ и $l_3$ равен $\angle(l_2, l_3) = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}$. Отсюда $\angle A = 180^\circ - 2\angle(l_2, l_3)$. Зная угол $A$, мы можем построить стороны $AB$ и $AC$.

Алгоритм построения:

1. Измеряем острый угол $\alpha$ между прямыми $l_2$ и $l_3$. Вычисляем половину угла при вершине $A$ искомого треугольника: $\frac{\angle A}{2} = 90^\circ - \alpha$.
2. Строим прямую $m_{AB}$, проходящую через $A$ и образующую с прямой $l_1$ угол, равный $\frac{\angle A}{2}$. Это будет прямая, содержащая сторону $AB$.
3. Строим прямую $m_{AC}$, которая симметрична $m_{AB}$ относительно прямой $l_1$. Это будет прямая, содержащая сторону $AC$.
4. Теперь нам нужно найти третью сторону $BC$. Прямая, содержащая сторону $BC$, должна быть симметрична прямой $AB$ (т.е. $m_{AB}$) относительно биссектрисы $l_2$. Строим прямую $m_{BC}$, симметричную $m_{AB}$ относительно $l_2$.
5. Вершина $C$ является точкой пересечения прямых $m_{AC}$ и $m_{BC}$.
6. Вершина $B$ является точкой пересечения прямых $m_{AB}$ и $m_{BC}$.
7. Треугольник $ABC$ – искомый. (В качестве проверки можно убедиться, что прямая $m_{BC}$ также является отражением $m_{AC}$ относительно $l_3$).

Ответ: Построение выполняется в пять шагов:1. Находим угол $\frac{\angle A}{2} = 90^\circ - \angle(l_2, l_3)$.2. Строим прямые $m_{AB}$ и $m_{AC}$ через точку $A$ так, чтобы $l_1$ была биссектрисой угла между ними, и угол был равен $\angle A$.3. Строим прямую $m_{BC}$, симметричную $m_{AB}$ относительно $l_2$.4. Находим вершину $B$ как пересечение $m_{AB}$ и $m_{BC}$, а вершину $C$ как пересечение $m_{AC}$ и $m_{BC}$.5. Треугольник $ABC$ – искомый.

Пусть искомый треугольник – $PQR$. Прямые $l_1, l_2, l_3$ являются серединными перпендикулярами к его сторонам. Точка их пересечения $O$ – центр описанной окружности (циркумцентр) треугольника $PQR$.

Точка $A$ – середина одной из сторон, скажем, $PQ$. Серединный перпендикуляр к стороне $PQ$ должен проходить через ее середину, то есть через точку $A$. Таким образом, точка $A$ лежит на одном из серединных перпендикуляров. Пусть это $l_1$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, образованный серединами сторон $\triangle PQR$ (это так называемый срединный треугольник). Вершина $A$ этого треугольника нам дана. Вершины $B$ (середина $QR$) и $C$ (середина $RP$) лежат на прямых $l_2$ и $l_3$ соответственно.

Есть важная теорема: ортоцентром срединного треугольника $ABC$ является центр описанной окружности исходного треугольника $PQR$. В нашем случае это точка $O$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ABC$, у которого:

• Вершина $A$ задана.
• Вершины $A, B, C$ лежат на прямых $l_1, l_2, l_3$ соответственно.
• Точка $O$ является его ортоцентром.

Эта задача в точности совпадает с задачей из пункта 1! Поэтому сначала строим срединный треугольник $ABC$, а затем по нему – искомый треугольник $PQR$.

Алгоритм построения:

1. Строим срединный треугольник $ABC$ (как в пункте 1):
   1. Строим прямую $m_{AB}$ через $A$ перпендикулярно $l_3$.
   2. Строим прямую $m_{AC}$ через $A$ перпендикулярно $l_2$.
   3. Находим вершину $B$ как пересечение $m_{AB}$ и $l_2$.
   4. Находим вершину $C$ как пересечение $m_{AC}$ и $l_3$.
2. По срединному треугольнику $ABC$ строим исходный треугольник $PQR$. Треугольник $PQR$ является антикомплементарным (или дополнительным) для $ABC$. Его стороны проходят через вершины $A, B, C$ и параллельны противолежащим сторонам $BC, AC, AB$.
   1. Через точку $A$ проводим прямую, параллельную стороне $BC$.
   2. Через точку $B$ проводим прямую, параллельную стороне $AC$.
   3. Через точку $C$ проводим прямую, параллельную стороне $AB$.
3. Точки пересечения этих трех построенных прямых и являются вершинами искомого треугольника $PQR$.

Ответ: Задача решается в два этапа.1. Сначала строится вспомогательный (срединный) треугольник $ABC$ точно так же, как в пункте 1: его вершина $A$ задана, а $O$ является его ортоцентром.2. Затем по треугольнику $ABC$ строится искомый треугольник $PQR$ проведением через каждую вершину ($A, B, C$) прямой, параллельной противолежащей стороне. Точки пересечения этих трех прямых образуют искомый треугольник $PQR$.