Номер 1.180, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.180. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник $ABC$ построен. $AC$ — его основание, равное данной длине $a$, а $R$ — радиус описанной около него окружности. Центр описанной окружности, точка $O$, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Серединный перпендикуляр к основанию $AC$ совпадает с этой высотой. Обозначим эту прямую как $m$, а середину основания $AC$ как $H$. Таким образом, центр $O$ и вершина $B$ лежат на прямой $m$.

Все вершины треугольника $A$, $B$, $C$ лежат на описанной окружности, поэтому расстояния от центра $O$ до них равны радиусу $R$: $OA = OB = OC = R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAH$. В нем гипотенуза $OA = R$, а катет $AH$ равен половине основания, то есть $AH = a/2$. По теореме Пифагора, расстояние от центра окружности до основания $OH$ равно $OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{R^2 - (a/2)^2}$.

Для того чтобы такое расстояние существовало, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $R^2 - (a/2)^2 \ge 0$, что эквивалентно $R \ge a/2$. Если это условие не выполняется, построение невозможно.

Вершина $B$ лежит на прямой $m$ и на описанной окружности с центром $O$ и радиусом $R$. Таким образом, для построения треугольника сначала нужно найти центр $O$ описанной окружности, а затем — вершину $B$.

Построение

1. С помощью линейки строим отрезок $AC$ заданной длины $a$.

2. С помощью циркуля и линейки строим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AC$. Точку пересечения прямой $m$ и отрезка $AC$ обозначим $H$.

3. Из точки $A$ (или $C$) как из центра проводим циркулем дугу окружности радиусом $R$.

4. В случае, если $R \ge a/2$, эта дуга пересечет прямую $m$ в одной или двух точках. Обозначим одну из точек пересечения как $O$. Эта точка будет центром описанной окружности.

5. С центром в точке $O$ и радиусом $R$ строим окружность. По построению она пройдет через точки $A$ и $C$, так как $OA = R$ и $OC = OA = R$ (поскольку $O$ лежит на серединном перпендикуляре).

6. Построенная окружность пересечет прямую $m$ в двух точках. Обозначим их $B_1$ и $B_2$.

7. Соединяем точки $A$ и $C$ с точкой $B_1$, получаем треугольник $AB_1C$. Соединяем точки $A$ и $C$ с точкой $B_2$, получаем треугольник $AB_2C$. Оба треугольника являются искомыми.

Доказательство

Рассмотрим один из построенных треугольников, например, $AB_1C$. По построению, его основание $AC$ равно заданной длине $a$. Точки $A$, $B_1$, $C$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $R$, следовательно, эта окружность является описанной для треугольника $AB_1C$, и ее радиус равен $R$. Вершина $B_1$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, поэтому она равноудалена от его концов: $AB_1 = CB_1$. Таким образом, треугольник $AB_1C$ является равнобедренным с заданным основанием и радиусом описанной окружности. Аналогичное доказательство справедливо и для треугольника $AB_2C$.

Исследование

Возможность построения и количество решений зависят от соотношения между длиной основания $a$ и радиусом описанной окружности $R$. Задача сводится к возможности нахождения центра $O$ как точки пересечения прямой $m$ и окружности с центром в $A$ и радиусом $R$. Расстояние от точки $A$ до прямой $m$ равно $a/2$.

1. Если $R < a/2$ (или $2R < a$), то окружность с центром $A$ и радиусом $R$ не пересечет прямую $m$. В этом случае невозможно найти центр $O$, и задача не имеет решений. Это логично, так как хорда ($a$) не может быть длиннее диаметра ($2R$).

2. Если $R = a/2$ (или $2R = a$), окружность с центром $A$ касается прямой $m$ в точке $H$. Центр описанной окружности $O$ совпадает с серединой основания $H$. В этом случае основание $AC$ является диаметром описанной окружности. Треугольник $ABC$ будет прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Точки $B_1$ и $B_2$ симметричны относительно прямой $AC$, и треугольники $AB_1C$ и $AB_2C$ конгруэнтны. Таким образом, задача имеет одно уникальное решение (с точностью до конгруэнтности).

3. Если $R > a/2$ (или $2R > a$), окружность с центром $A$ и радиусом $R$ пересекает прямую $m$ в двух точках ($O_1$ и $O_2$), симметричных относительно прямой $AC$. Выбор любой из этих точек в качестве центра приводит к одной и той же описанной окружности. Эта окружность пересекает прямую $m$ в двух точках $B_1$ и $B_2$. Одна из них ($B_1$) лежит по ту же сторону от прямой $AC$, что и центр $O$, образуя остроугольный треугольник. Другая ($B_2$) лежит по другую сторону, образуя тупоугольный треугольник. Треугольники $AB_1C$ и $AB_2C$ не являются конгруэнтными. Таким образом, задача имеет два различных решения.

Ответ: Если $2R > a$, задача имеет два решения (остроугольный и тупоугольный треугольники). Если $2R = a$, задача имеет одно решение (прямоугольный треугольник). Если $2R < a$, задача не имеет решений.