Страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.172. Может ли радиус описанной около треугольника окружности быть:

1) больше каждой стороны;

2) меньше каждой стороны;

3) равным каждой стороне этого треугольника?

Для решения этой задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов, которая связывает стороны треугольника, синусы противолежащих углов и радиус описанной окружности ($R$):
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $
Из этой теоремы можно выразить любую сторону треугольника, например, сторону $a$:
$ a = 2R \sin A $
Аналогичные формулы справедливы для сторон $b$ и $c$. Будем анализировать каждый случай отдельно.

1) больше каждой стороны

Может ли радиус описанной окружности $R$ быть больше каждой из сторон $a, b, c$? Это означает, что должны одновременно выполняться три неравенства: $R > a$, $R > b$ и $R > c$.
Рассмотрим неравенство $R > a$. Используя формулу $a = 2R \sin A$, получаем:
$ R > 2R \sin A $
Поскольку радиус $R$ для невырожденного треугольника — величина положительная, мы можем разделить обе части неравенства на $R$:
$ 1 > 2 \sin A $
$ \sin A < \frac{1}{2} $
Аналогичные условия должны выполняться и для двух других углов: $\sin B < \frac{1}{2}$ и $\sin C < \frac{1}{2}$.
Угол треугольника $\alpha$ находится в диапазоне $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Неравенство $\sin \alpha < \frac{1}{2}$ выполняется, если $0^\circ < \alpha < 30^\circ$ или $150^\circ < \alpha < 180^\circ$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Если все три угла $A, B, C$ будут меньше $30^\circ$, то их сумма будет меньше $30^\circ \cdot 3 = 90^\circ$, что невозможно.
Следовательно, хотя бы один из углов должен быть больше $150^\circ$. В треугольнике может быть только один тупой угол. Пусть это будет угол $C$, то есть $150^\circ < C < 180^\circ$.
Тогда для суммы двух других углов имеем: $A+B = 180^\circ - C < 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Если $A+B < 30^\circ$, то каждый из углов $A$ и $B$ точно будет меньше $30^\circ$, а значит, их синусы также будут меньше $\frac{1}{2}$.
Например, рассмотрим треугольник с углами $C=170^\circ$, $A=5^\circ$, $B=5^\circ$.
$\sin C = \sin 170^\circ = \sin(180^\circ-10^\circ) = \sin 10^\circ \approx 0.174 < 0.5$
$\sin A = \sin 5^\circ \approx 0.087 < 0.5$
$\sin B = \sin 5^\circ \approx 0.087 < 0.5$
Все условия выполняются. Следовательно, такой треугольник существует.
Ответ: Да, может. Это характерно для тупоугольных треугольников с одним очень большим углом.

2) меньше каждой стороны

Может ли радиус описанной окружности $R$ быть меньше каждой из сторон $a, b, c$? Это означает, что должны одновременно выполняться три неравенства: $R < a$, $R < b$ и $R < c$.
Рассмотрим неравенство $R < a$. Используя формулу $a = 2R \sin A$, получаем:
$ R < 2R \sin A $
Разделив на $R > 0$, получим:
$ 1 < 2 \sin A $
$ \sin A > \frac{1}{2} $
Аналогично, для других углов: $\sin B > \frac{1}{2}$ и $\sin C > \frac{1}{2}$.
Неравенство $\sin \alpha > \frac{1}{2}$ для угла треугольника выполняется, если $30^\circ < \alpha < 150^\circ$.
Нам нужно проверить, может ли существовать треугольник, все углы которого лежат в этом интервале.
Например, рассмотрим равносторонний треугольник. Все его углы равны $60^\circ$.
Так как $30^\circ < 60^\circ < 150^\circ$, условие $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$ выполняется для всех трех углов.
Проверим соотношение между стороной $a$ и радиусом $R$ для равностороннего треугольника:
$a = 2R \sin 60^\circ = 2R \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$
Отсюда $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, то $R < a$. Так как все стороны равны, $R$ меньше каждой стороны.
Ответ: Да, может. Например, в равностороннем треугольнике.

3) равным каждой стороне этого треугольника

Может ли радиус описанной окружности $R$ быть равным каждой стороне треугольника? Это означает, что должны одновременно выполняться равенства $R=a$, $R=b$ и $R=c$.
Из этих равенств следует, что все стороны треугольника равны между собой: $a = b = c$. Такой треугольник является равносторонним.
Теперь проверим, может ли у равностороннего треугольника радиус описанной окружности быть равен его стороне.
Как мы установили в предыдущем пункте, для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ связан с ней соотношением:
$a = R\sqrt{3}$
Если бы радиус был равен стороне, то есть $a=R$, мы бы получили:
$R = R\sqrt{3}$
Так как $R > 0$, мы можем разделить обе части на $R$:
$1 = \sqrt{3}$
Это равенство является ложным, так как $\sqrt{3} \approx 1.732$. Следовательно, радиус описанной окружности не может быть равен стороне равностороннего треугольника.
А так как условие "радиус равен каждой стороне" однозначно приводит к тому, что треугольник должен быть равносторонним, такая ситуация невозможна.
Ответ: Нет, не может.

1.173. Докажите, что центры вписанной в равносторонний треугольник окружности и описанной около него совпадают, а их радиусы относятся как $2 : 1$.

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$. В равностороннем треугольнике все стороны равны ($AB = BC = AC$) и все углы равны $60^\circ$.

Докажем, что центры вписанной в равносторонний треугольник окружности и описанной около него совпадают.

Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Центр описанной окружности (циркумцентр) — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Проведем в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ медиану $AD$ к стороне $BC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, он также является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Таким образом, отрезок $AD$ является одновременно:

• медианой (соединяет вершину $A$ с серединой $D$ стороны $BC$);
• высотой (перпендикулярен к стороне $BC$, то есть $AD \perp BC$);
• биссектрисой (делит угол $\angle BAC$ пополам).

Поскольку $AD$ перпендикулярен к стороне $BC$ и проходит через ее середину (точку $D$), то $AD$ также является серединным перпендикуляром к стороне $BC$.

Аналогичные рассуждения верны для медиан, проведенных из вершин $B$ и $C$. Они также будут являться высотами, биссектрисами и серединными перпендикулярами к противолежащим сторонам.

Следовательно, точка пересечения биссектрис (инцентр) и точка пересечения серединных перпендикуляров (циркумцентр) в равностороннем треугольнике совпадают. Эта же точка является и точкой пересечения медиан (центроидом), и точкой пересечения высот (ортоцентром).

Ответ: центры вписанной и описанной окружностей в равностороннем треугольнике совпадают.

Докажем, что их радиусы относятся как 2 : 1.

Пусть $O$ — общая точка, являющаяся центром обеих окружностей. Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Радиус описанной окружности $R$ — это расстояние от центра до любой из вершин треугольника. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AD$, который соединяет вершину $A$ с центром, то $R = AO$.

Радиус вписанной окружности $r$ — это расстояние от центра до любой из сторон треугольника. Это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на сторону. Так как $AD \perp BC$, то перпендикуляр из $O$ на сторону $BC$ — это отрезок $OD$. Следовательно, $r = OD$.

Как было показано в первой части, точка $O$ является также точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника $ABC$. По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Следовательно, для медианы $AD$ выполняется соотношение:

$AO : OD = 2 : 1$

Подставляя $R = AO$ и $r = OD$ в это соотношение, получаем:

$R : r = 2 : 1$

Ответ: радиус описанной окружности ($R$) и радиус вписанной окружности ($r$) для равностороннего треугольника относятся как $R:r = 2:1$.

1.174. Стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ не равны между собой. Докажите, что медиана и высота, проведенные из вершины $A$, не совпадают.

Для решения данной задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором, по условию, стороны $AB$ и $AC$ не равны между собой, то есть $AB \neq AC$.

Предположим, что медиана и высота, проведенные из вершины $A$, совпадают. Обозначим этот общий отрезок как $AK$, где $K$ — точка на стороне $BC$.

Из нашего предположения следует, что отрезок $AK$ обладает свойствами и медианы, и высоты одновременно:

1. Так как $AK$ — это медиана, то по определению медианы она делит противолежащую сторону $BC$ пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой отрезка $BC$, и выполняется равенство $BK = KC$.

2. Так как $AK$ — это высота, то по определению высоты она перпендикулярна стороне $BC$. Следовательно, углы $\angle AKB$ и $\angle AKC$ являются прямыми, то есть $\angle AKB = \angle AKC = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $AK$ делит треугольник $ABC$: $\triangle ABK$ и $\triangle ACK$. Сравним их:

- Сторона $AK$ у них общая.
- Стороны $BK$ и $KC$ равны ($BK = KC$), так как $AK$ — медиана.
- Угол $\angle AKB$ равен углу $\angle AKC$ ($\angle AKB = \angle AKC = 90^\circ$), так как $AK$ — высота.

Таким образом, треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle ACK$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Также можно утверждать, что они равны как прямоугольные треугольники по двум катетам ($AK$ и $BK = KC$).

Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, в том числе и сторон. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABK$ является гипотенузой и соответствует гипотенузе $AC$ треугольника $\triangle ACK$. Следовательно, должно выполняться равенство $AB = AC$.

Полученное нами равенство $AB = AC$ находится в прямом противоречии с первоначальным условием задачи, в котором сказано, что $AB \neq AC$.

Это противоречие доказывает, что наше исходное предположение о том, что медиана и высота из вершины $A$ совпадают, было неверным.

Следовательно, если стороны $AB$ и $AC$ треугольника не равны, то медиана и высота, проведенные из вершины $A$, не совпадают.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1.175. В равнобедренном треугольнике $ABC$ серединный перпендикуляр, проведенный к стороне $AB$, пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Периметр треугольника $AEC$ равен 27 см, а сторона $AB$ равна 18 см. Найдите основание $AC$ треугольника.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и требуется найти его основание $AC$. Это означает, что боковыми сторонами являются $AB$ и $BC$, и они равны между собой: $AB = BC$.

Дано, что длина стороны $AB$ равна 18 см. Следовательно, длина стороны $BC$ также равна 18 см:

$BC = AB = 18$ см.

Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ проходит через ее середину и перпендикулярен ей. Пусть точка $E$ лежит на этом перпендикуляре. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Поскольку точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, расстояния от $E$ до вершин $A$ и $B$ равны:

$AE = BE$.

Периметр треугольника $AEC$ равен сумме длин его сторон:

$P_{AEC} = AE + EC + AC$.

По условию, $P_{AEC} = 27$ см. Таким образом, мы имеем равенство:

$AE + EC + AC = 27$ см.

Воспользуемся тем, что $AE = BE$, и заменим в формуле периметра $AE$ на $BE$:

$BE + EC + AC = 27$ см.

Точка $E$ лежит на стороне $BC$, поэтому сумма длин отрезков $BE$ и $EC$ составляет длину стороны $BC$:

$BE + EC = BC$.

Теперь подставим это в наше уравнение для периметра:

$BC + AC = 27$ см.

Мы знаем, что $BC = 18$ см. Подставим это значение в последнее равенство:

$18 + AC = 27$.

Чтобы найти длину основания $AC$, вычтем 18 из 27:

$AC = 27 - 18 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

1.176. Вершина прямого угла прямоугольного треугольника соединена с центрами описанной и вписанной окружностей отрезками, угол между которыми равен $7^\circ$. Найдите острые углы треугольника.

Дано:

$\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle O_1 CO_2 = 7^\circ$.

$O_1$ и $O_2$ – центры описанной и вписанной в треугольник окружностей (рис. 1.82).

Найти:

$\angle A$, $\angle B$.

Рис. 1.82

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle C = 90^\circ$.

$O_1$ — центр описанной окружности. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. Таким образом, точка $O_1$ является серединой гипотенузы $AB$.

$O_2$ — центр вписанной окружности. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезок $CO_2$ — биссектриса угла $C$.

Так как $CO_2$ является биссектрисой прямого угла $C$, то она делит его на два равных угла:
$\angle ACO_2 = \angle BCO_2 = \frac{\angle C}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим отрезок $CO_1$. Он соединяет вершину $C$ с серединой гипотенузы $AB$, следовательно, $CO_1$ — медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, ее длина равна половине гипотенузы: $CO_1 = AO_1 = BO_1 = R$, где $R$ — радиус описанной окружности.

Рассмотрим треугольник $AO_1C$. Так как $CO_1 = AO_1$, то он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle ACO_1 = \angle A$.

Аналогично, треугольник $BO_1C$ является равнобедренным ($CO_1 = BO_1$), поэтому $\angle BCO_1 = \angle B$.

По условию задачи, угол между отрезками $CO_1$ и $CO_2$ равен $7^\circ$, то есть $\angle O_1CO_2 = 7^\circ$.

Этот угол является разностью между углом, который биссектриса $CO_2$ образует с катетом, и углом, который медиана $CO_1$ образует с тем же катетом. Возможны два случая.

1. Случай 1: Луч $CO_1$ лежит между лучами $CA$ и $CO_2$.
Тогда угол $\angle ACO_2$ можно представить как сумму углов $\angle ACO_1$ и $\angle O_1CO_2$:
$\angle ACO_2 = \angle ACO_1 + \angle O_1CO_2$
Подставляя известные значения, получаем:
$45^\circ = \angle A + 7^\circ$
Отсюда находим один из острых углов:
$\angle A = 45^\circ - 7^\circ = 38^\circ$.

2. Случай 2: Луч $CO_1$ лежит между лучами $CB$ и $CO_2$.
Тогда:
$\angle BCO_2 = \angle BCO_1 + \angle O_1CO_2$
Подставляя известные значения, получаем:
$45^\circ = \angle B + 7^\circ$
Отсюда находим второй острый угол:
$\angle B = 45^\circ - 7^\circ = 38^\circ$.

Поскольку сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$ ($\angle A + \angle B = 90^\circ$), если один из углов равен $38^\circ$, то второй будет равен $90^\circ - 38^\circ = 52^\circ$. Оба случая приводят к одному и тому же набору углов.

Ответ: Острые углы треугольника равны $38^\circ$ и $52^\circ$.

1.177. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC пересекаются в точке D на стороне BC. Докажите, что:

а) точка D – середина отрезка BC;

б) $\angle A = \angle B + \angle C$.

а)

По определению, любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. Следовательно, она равноудалена от точек $A$ и $B$. Это означает, что $DA = DB$.

Точка $D$ также лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. Следовательно, она равноудалена от точек $A$ и $C$. Это означает, что $DA = DC$.

Из двух полученных равенств $DA = DB$ и $DA = DC$ следует, что $DB = DC$.

Поскольку точка $D$ лежит на стороне $BC$ и делит ее на два равных отрезка ($DB = DC$), то $D$ является серединой отрезка $BC$.

Ответ: что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим треугольник $ADB$. Так как из пункта а) мы знаем, что $DA = DB$, то треугольник $ADB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle DAB = \angle DBA$. Угол $\angle DBA$ — это угол $\angle B$ треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle DAB = \angle B$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Так как из пункта а) мы знаем, что $DA = DC$, то треугольник $ADC$ также является равнобедренным. Углы при основании этого треугольника равны, следовательно, $\angle DAC = \angle DCA$. Угол $\angle DCA$ — это угол $\angle C$ треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle DAC = \angle C$.

Угол $\angle A$ треугольника $ABC$ (то есть $\angle BAC$) состоит из двух углов: $\angle DAB$ и $\angle DAC$.

$\angle A = \angle BAC = \angle DAB + \angle DAC$.

Подставим в это равенство найденные нами соотношения:

$\angle A = \angle B + \angle C$.

Ответ: что и требовалось доказать.

1.178. Сколько существует окружностей, касающихся трех попарно пересекающихся прямых, не проходящих через одну точку? Постройте эти окружности.

Три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку, образуют на плоскости треугольник. Обозначим эти прямые как $l_1$, $l_2$, $l_3$, а вершины образованного ими треугольника — $A$, $B$ и $C$.

Окружность, касающаяся трех прямых, должна быть равноудалена от них. Центр такой окружности — это точка, равноудаленная от трех прямых. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это пара биссектрис углов, образованных этими прямыми. Следовательно, центр искомой окружности должен быть точкой пересечения трех биссектрис, по одной для каждой пары прямых (т.е. для каждого из трех углов, образованных линиями).

Сколько существует окружностей, касающихся трех попарно пересекающихся прямых, не проходящих через одну точку?

Рассмотрим возможные комбинации биссектрис внутренних и внешних углов треугольника $ABC$.

1. Вписанная окружность. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис внутренних углов треугольника. Известно, что три биссектрисы внутренних углов треугольника всегда пересекаются в одной точке — инцентре ($I$). Эта точка равноудалена от всех трех сторон треугольника. Следовательно, существует одна окружность, расположенная внутри треугольника и касающаяся всех его трех сторон. Это вписанная окружность.

2. Вневписанные окружности. Центры других искомых окружностей лежат на пересечениях биссектрис одного внутреннего и двух внешних углов.

• Биссектриса внутреннего угла при вершине $A$ и биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ пересекаются в одной точке ($I_a$). Эта точка является центром окружности, которая касается стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Такая окружность называется вневписанной.
• Аналогично, существуют еще две вневписанные окружности с центрами $I_b$ и $I_c$, каждая из которых касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

Таким образом, для любого треугольника, образованного тремя такими прямыми, существует одна вписанная окружность и три вневписанные окружности. Всего $1 + 3 = 4$ окружности.

Ответ: Существует 4 таких окружности.

Постройте эти окружности.

Пусть даны три прямые, образующие треугольник $ABC$.

1. Построение вписанной окружности:

1. С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису любого внутреннего угла, например, угла $A$.
2. Постройте биссектрису другого внутреннего угла, например, угла $B$.
3. Точка пересечения этих двух биссектрис, $I$, является центром вписанной окружности (инцентром).
4. Из точки $I$ опустите перпендикуляр на любую из сторон треугольника (например, на сторону $AB$). Обозначим основание перпендикуляра точкой $P$.
5. Отрезок $IP$ является радиусом $r$ вписанной окружности.
6. Постройте окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r = |IP|$.

2. Построение вневписанных окружностей:

Рассмотрим построение вневписанной окружности, касающейся стороны $BC$ (противолежащей вершине $A$).

1. Продлите стороны $AB$ и $AC$ за вершины $B$ и $C$.
2. Постройте биссектрису внешнего угла при вершине $B$.
3. Постройте биссектрису внешнего угла при вершине $C$.
4. Точка пересечения этих двух биссектрис, $I_a$, является центром вневписанной окружности (эксцентром). (Альтернативно, можно построить биссектрису внутреннего угла $A$ и биссектрису одного из внешних углов, $B$ или $C$ — они также пересекутся в точке $I_a$).
5. Из точки $I_a$ опустите перпендикуляр на любую из трех прямых (например, на прямую $BC$). Обозначим основание перпендикуляра точкой $Q$.
6. Отрезок $I_aQ$ является радиусом $R_a$ вневписанной окружности.
7. Постройте окружность с центром в точке $I_a$ и радиусом $R_a = |I_aQ|$.

Две другие вневписанные окружности строятся аналогично для двух других сторон треугольника.

На рисунке показан треугольник $ABC$, образованный тремя прямыми, и четыре окружности, касающиеся этих прямых: одна вписанная (зеленая, центр $I$) и три вневписанные (красная, синяя и фиолетовая, с центрами $I_a$, $I_b$, $I_c$).

Ответ: Всего существует 4 окружности, касающиеся трех заданных прямых: одна вписанная (внутри треугольника) и три вневписанные (снаружи). Построение этих окружностей сводится к нахождению их центров, которые являются точками пересечения биссектрис внутренних и внешних углов треугольника, образованного данными прямыми. Центр вписанной окружности — точка пересечения трех внутренних биссектрис. Центр каждой из вневписанных окружностей — точка пересечения одной внутренней и двух внешних биссектрис.

1.179. Докажите, что сумма диаметров вписанной в прямоугольный треугольник окружности и описанной около него равна сумме катетов этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, и гипотенузой $c$. Обозначим диаметр вписанной окружности как $d$, а её радиус как $r$ (то есть $d = 2r$). Обозначим диаметр описанной окружности как $D$, а её радиус как $R$ (то есть $D = 2R$). Требуется доказать, что $d + D = a + b$.

1. Найдем диаметр описанной окружности D.

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы. Следовательно, радиус этой окружности $R$ равен половине длины гипотенузы $c$. $$R = \frac{c}{2}$$ Диаметр описанной окружности $D$ равен двум радиусам, а значит, он равен длине гипотенузы: $$D = 2R = 2 \cdot \frac{c}{2} = c$$

2. Найдем диаметр вписанной окружности d.

Для любого треугольника радиус вписанной окружности $r$ связан с его площадью $S$ и полупериметром $p$ формулой $r = S/p$. Для прямоугольного треугольника площадь $S = \frac{1}{2}ab$, а полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$. Подставив эти значения, получим: $$r = \frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{a+b+c}{2}} = \frac{ab}{a+b+c}$$ Однако существует более удобная формула для радиуса вписанной окружности именно в прямоугольный треугольник: $$r = \frac{a+b-c}{2}$$ Диаметр вписанной окружности $d$ равен $2r$: $$d = 2r = 2 \cdot \frac{a+b-c}{2} = a+b-c$$

3. Сложим диаметры.

Теперь найдем сумму диаметров вписанной и описанной окружностей, используя полученные выражения для $d$ и $D$: $$d + D = (a+b-c) + c$$ Упрощая это выражение, получаем: $$d + D = a+b$$ Таким образом, мы доказали, что сумма диаметров вписанной в прямоугольный треугольник окружности и описанной около него равна сумме катетов этого треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма диаметров $d+D$ равна $a+b$, что является суммой катетов.

1.180. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник $ABC$ построен. $AC$ — его основание, равное данной длине $a$, а $R$ — радиус описанной около него окружности. Центр описанной окружности, точка $O$, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Серединный перпендикуляр к основанию $AC$ совпадает с этой высотой. Обозначим эту прямую как $m$, а середину основания $AC$ как $H$. Таким образом, центр $O$ и вершина $B$ лежат на прямой $m$.

Все вершины треугольника $A$, $B$, $C$ лежат на описанной окружности, поэтому расстояния от центра $O$ до них равны радиусу $R$: $OA = OB = OC = R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAH$. В нем гипотенуза $OA = R$, а катет $AH$ равен половине основания, то есть $AH = a/2$. По теореме Пифагора, расстояние от центра окружности до основания $OH$ равно $OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{R^2 - (a/2)^2}$.

Для того чтобы такое расстояние существовало, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $R^2 - (a/2)^2 \ge 0$, что эквивалентно $R \ge a/2$. Если это условие не выполняется, построение невозможно.

Вершина $B$ лежит на прямой $m$ и на описанной окружности с центром $O$ и радиусом $R$. Таким образом, для построения треугольника сначала нужно найти центр $O$ описанной окружности, а затем — вершину $B$.

Построение

1. С помощью линейки строим отрезок $AC$ заданной длины $a$.

2. С помощью циркуля и линейки строим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AC$. Точку пересечения прямой $m$ и отрезка $AC$ обозначим $H$.

3. Из точки $A$ (или $C$) как из центра проводим циркулем дугу окружности радиусом $R$.

4. В случае, если $R \ge a/2$, эта дуга пересечет прямую $m$ в одной или двух точках. Обозначим одну из точек пересечения как $O$. Эта точка будет центром описанной окружности.

5. С центром в точке $O$ и радиусом $R$ строим окружность. По построению она пройдет через точки $A$ и $C$, так как $OA = R$ и $OC = OA = R$ (поскольку $O$ лежит на серединном перпендикуляре).

6. Построенная окружность пересечет прямую $m$ в двух точках. Обозначим их $B_1$ и $B_2$.

7. Соединяем точки $A$ и $C$ с точкой $B_1$, получаем треугольник $AB_1C$. Соединяем точки $A$ и $C$ с точкой $B_2$, получаем треугольник $AB_2C$. Оба треугольника являются искомыми.

Доказательство

Рассмотрим один из построенных треугольников, например, $AB_1C$. По построению, его основание $AC$ равно заданной длине $a$. Точки $A$, $B_1$, $C$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $R$, следовательно, эта окружность является описанной для треугольника $AB_1C$, и ее радиус равен $R$. Вершина $B_1$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, поэтому она равноудалена от его концов: $AB_1 = CB_1$. Таким образом, треугольник $AB_1C$ является равнобедренным с заданным основанием и радиусом описанной окружности. Аналогичное доказательство справедливо и для треугольника $AB_2C$.

Исследование

Возможность построения и количество решений зависят от соотношения между длиной основания $a$ и радиусом описанной окружности $R$. Задача сводится к возможности нахождения центра $O$ как точки пересечения прямой $m$ и окружности с центром в $A$ и радиусом $R$. Расстояние от точки $A$ до прямой $m$ равно $a/2$.

1. Если $R < a/2$ (или $2R < a$), то окружность с центром $A$ и радиусом $R$ не пересечет прямую $m$. В этом случае невозможно найти центр $O$, и задача не имеет решений. Это логично, так как хорда ($a$) не может быть длиннее диаметра ($2R$).

2. Если $R = a/2$ (или $2R = a$), окружность с центром $A$ касается прямой $m$ в точке $H$. Центр описанной окружности $O$ совпадает с серединой основания $H$. В этом случае основание $AC$ является диаметром описанной окружности. Треугольник $ABC$ будет прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Точки $B_1$ и $B_2$ симметричны относительно прямой $AC$, и треугольники $AB_1C$ и $AB_2C$ конгруэнтны. Таким образом, задача имеет одно уникальное решение (с точностью до конгруэнтности).

3. Если $R > a/2$ (или $2R > a$), окружность с центром $A$ и радиусом $R$ пересекает прямую $m$ в двух точках ($O_1$ и $O_2$), симметричных относительно прямой $AC$. Выбор любой из этих точек в качестве центра приводит к одной и той же описанной окружности. Эта окружность пересекает прямую $m$ в двух точках $B_1$ и $B_2$. Одна из них ($B_1$) лежит по ту же сторону от прямой $AC$, что и центр $O$, образуя остроугольный треугольник. Другая ($B_2$) лежит по другую сторону, образуя тупоугольный треугольник. Треугольники $AB_1C$ и $AB_2C$ не являются конгруэнтными. Таким образом, задача имеет два различных решения.

Ответ: Если $2R > a$, задача имеет два решения (остроугольный и тупоугольный треугольники). Если $2R = a$, задача имеет одно решение (прямоугольный треугольник). Если $2R < a$, задача не имеет решений.