Страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.188. Можно ли описать окружность около четырехугольника, если его углы, взятые в последовательном порядке, равны:

1) $90^\circ$, $90^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$;

2) $70^\circ$, $130^\circ$, $110^\circ$, $50^\circ$;

3) $45^\circ$, $75^\circ$, $135^\circ$, $105^\circ$?

Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась $180^\circ$. Пусть углы четырехугольника, взятые в последовательном порядке, это $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$. Тогда для возможности описать окружность должно выполняться равенство: $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Проверим это свойство для каждого из предложенных случаев.

1)

Даны углы $90^\circ, 90^\circ, 60^\circ, 120^\circ$. Пусть $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 60^\circ$ и $\angle D = 120^\circ$.
Найдем сумму первой пары противолежащих углов: $\angle A + \angle C = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.
Поскольку $150^\circ \neq 180^\circ$, условие не выполняется.
Для полноты проверим и вторую пару: $\angle B + \angle D = 90^\circ + 120^\circ = 210^\circ$. Эта сумма также не равна $180^\circ$.
Следовательно, описать окружность около такого четырехугольника нельзя.
Ответ: нельзя.

2)

Даны углы $70^\circ, 130^\circ, 110^\circ, 50^\circ$. Пусть $\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 130^\circ$, $\angle C = 110^\circ$ и $\angle D = 50^\circ$.
Найдем сумму первой пары противолежащих углов: $\angle A + \angle C = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$.
Условие выполняется. Проверим вторую пару углов:
$\angle B + \angle D = 130^\circ + 50^\circ = 180^\circ$.
Так как суммы обеих пар противолежащих углов равны $180^\circ$, то около такого четырехугольника можно описать окружность.
Ответ: можно.

3)

Даны углы $45^\circ, 75^\circ, 135^\circ, 105^\circ$. Пусть $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 75^\circ$, $\angle C = 135^\circ$ и $\angle D = 105^\circ$.
Найдем сумму первой пары противолежащих углов: $\angle A + \angle C = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$.
Условие выполняется. Проверим вторую пару углов:
$\angle B + \angle D = 75^\circ + 105^\circ = 180^\circ$.
Так как суммы обеих пар противолежащих углов равны $180^\circ$, то около такого четырехугольника можно описать окружность.
Ответ: можно.

1.189. Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого, взятые в последовательном порядке, относятся как: 1) 2, 3, 4, 3; 2) 7, 2, 4, 5?

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Сумма всех углов выпуклого четырехугольника всегда равна $360^\circ$. Используя эти факты, проверим каждый случай.

1) 2, 3, 4, 3

Пусть углы четырехугольника, взятые в последовательном порядке, соотносятся как $2:3:4:3$. Тогда их можно представить в виде $2x, 3x, 4x$ и $3x$. Сумма всех углов четырехугольника составляет $360^\circ$. Составим и решим уравнение:
$2x + 3x + 4x + 3x = 360^\circ$
$12x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждого угла:
Первый угол: $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
Второй угол: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$
Третий угол: $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$
Четвертый угол: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

Проверим суммы противолежащих углов (первого с третьим и второго с четвертым):
$60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$
$90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
Так как суммы противолежащих углов равны $180^\circ$, условие выполняется.
Ответ: да.

2) 7, 2, 4, 5

Пусть углы четырехугольника, взятые в последовательном порядке, соотносятся как $7:2:4:5$. Обозначим их как $7x, 2x, 4x$ и $5x$. Сумма углов равна $360^\circ$:
$7x + 2x + 4x + 5x = 360^\circ$
$18x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Найдем градусные меры каждого угла:
Первый угол: $7 \cdot 20^\circ = 140^\circ$
Второй угол: $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$
Третий угол: $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$
Четвертый угол: $5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$

Проверим суммы противолежащих углов (первого с третьим и второго с четвертым):
$140^\circ + 80^\circ = 220^\circ$
$40^\circ + 100^\circ = 140^\circ$
Так как суммы противолежащих углов не равны $180^\circ$, условие не выполняется.
Ответ: нет.

1.190. Докажите, что:

1) любая трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная;

2) любой параллелограмм, вписанный в окружность, есть прямоугольник;

3) любой ромб, вписанный в окружность, есть квадрат.

1)Пусть $ABCD$ — трапеция, вписанная в окружность, где $AD$ и $BC$ — её основания, то есть $AD \parallel BC$. Согласно свойству вписанной трапеции, дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. В нашем случае, хорды $AD$ и $BC$ параллельны, значит, дуги $AB$ и $CD$, заключенные между ними, равны. Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, боковые стороны трапеции, хорды $AB$ и $CD$, равны между собой. Трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)Пусть $ABCD$ — параллелограмм, вписанный в окружность. По определению параллелограмма, его противоположные углы равны: $\angle{A} = \angle{C}$ и $\angle{B} = \angle{D}$. Так как параллелограмм вписан в окружность, он является вписанным четырехугольником. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle{A} + \angle{C} = 180^\circ$. Используя оба свойства, получаем систему уравнений:$$ \begin{cases} \angle{A} = \angle{C} \\ \angle{A} + \angle{C} = 180^\circ \end{cases} $$Подставив первое уравнение во второе, имеем $\angle{A} + \angle{A} = 180^\circ$, или $2\angle{A} = 180^\circ$, откуда $\angle{A} = 90^\circ$. Поскольку в параллелограмме все углы попарно равны, а сумма соседних углов равна $180^\circ$, то все его углы равны $90^\circ$. Параллелограмм, все углы которого прямые, является прямоугольником.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3)Пусть $ABCD$ — ромб, вписанный в окружность. Ромб — это частный случай параллелограмма, у которого все стороны равны. Из доказательства в пункте 2) следует, что любой параллелограмм, вписанный в окружность, является прямоугольником. Следовательно, вписанный ромб $ABCD$ также является и прямоугольником. Фигура, которая одновременно является ромбом (все стороны равны) и прямоугольником (все углы прямые), по определению является квадратом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1.191. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, углы которого, взятые в последовательном порядке, относятся как:

1) $2, 2, 3, 3$;

2) $2, 5, 3, 4$;

3) $3, 5, 3, 1$?

Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны (теорема Пито). Однако для решения данной задачи, где заданы соотношения углов, удобнее использовать другой подход.

Ключевая идея заключается в том, что для любого набора из четырех углов $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$, которые в сумме дают $360^\circ$ и каждый из которых меньше $180^\circ$ (то есть они могут быть углами выпуклого четырехугольника), можно построить четырехугольник с такими углами, в который вписывается окружность.

Это можно показать конструктивно. Возьмем любую окружность с центром в точке $O$. Углы четырехугольника, описанного около окружности, связаны с центральными углами, образованными радиусами, проведенными в точки касания смежных сторон. Если угол четырехугольника равен $\alpha$, то соответствующий ему центральный угол равен $180^\circ - \alpha$. Чтобы построить четырехугольник с заданными углами $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$, нужно на окружности выбрать четыре точки касания так, чтобы центральные углы между ними последовательно равнялись $180^\circ - \alpha_1$, $180^\circ - \alpha_2$, $180^\circ - \alpha_3$ и $180^\circ - \alpha_4$. Сумма этих центральных углов будет равна:

$(180^\circ - \alpha_1) + (180^\circ - \alpha_2) + (180^\circ - \alpha_3) + (180^\circ - \alpha_4) = 720^\circ - (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4) = 720^\circ - 360^\circ = 360^\circ$.

Поскольку сумма центральных углов равна $360^\circ$, такие точки на окружности всегда существуют. Касательные, проведенные к окружности в этих точках, образуют описанный четырехугольник с заданными углами.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы проверить, могут ли данные соотношения определять углы выпуклого четырехугольника, то есть все ли вычисленные углы будут меньше $180^\circ$.

Пусть углы четырехугольника относятся как $2:2:3:3$. Обозначим их как $2x, 2x, 3x, 3x$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$.

$2x + 2x + 3x + 3x = 360^\circ$

$10x = 360^\circ$

$x = 36^\circ$

Тогда углы четырехугольника равны:

$\alpha_1 = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

$\alpha_2 = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

$\alpha_3 = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$

$\alpha_4 = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$

Все углы меньше $180^\circ$, значит, выпуклый четырехугольник с такими углами существует. Следовательно, в него можно вписать окружность.

Ответ: можно.

Пусть углы четырехугольника относятся как $2:5:3:4$. Обозначим их как $2x, 5x, 3x, 4x$.

$2x + 5x + 3x + 4x = 360^\circ$

$14x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{14} = \frac{180^\circ}{7}$

Тогда углы четырехугольника равны:

$\alpha_1 = 2 \cdot \frac{180^\circ}{7} = \frac{360^\circ}{7} \approx 51.4^\circ$

$\alpha_2 = 5 \cdot \frac{180^\circ}{7} = \frac{900^\circ}{7} \approx 128.6^\circ$

$\alpha_3 = 3 \cdot \frac{180^\circ}{7} = \frac{540^\circ}{7} \approx 77.1^\circ$

$\alpha_4 = 4 \cdot \frac{180^\circ}{7} = \frac{720^\circ}{7} \approx 102.9^\circ$

Все углы меньше $180^\circ$, значит, выпуклый четырехугольник с такими углами существует. Следовательно, в него можно вписать окружность.

Ответ: можно.

Пусть углы четырехугольника относятся как $3:5:3:1$. Обозначим их как $3x, 5x, 3x, x$.

$3x + 5x + 3x + x = 360^\circ$

$12x = 360^\circ$

$x = 30^\circ$

Тогда углы четырехугольника равны:

$\alpha_1 = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

$\alpha_2 = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$

$\alpha_3 = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

$\alpha_4 = 1 \cdot 30^\circ = 30^\circ$

Все углы меньше $180^\circ$, значит, выпуклый четырехугольник с такими углами существует. Следовательно, в него можно вписать окружность.

Ответ: можно.

1.192. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр четырехугольника.

Пусть стороны описанного четырехугольника, идущие по порядку, равны $a, b, c, d$. Противоположными сторонами будут пары ($a, c$) и ($b, d$).

По условию задачи, сумма двух противоположных сторон равна 15 см. Допустим, это стороны $a$ и $c$:

$a + c = 15$ см.

Ключевым свойством описанного четырехугольника (в который можно вписать окружность) является то, что суммы длин его противоположных сторон равны (согласно теореме Пито). Это означает:

$a + c = b + d$

Поскольку мы знаем, что $a + c = 15$ см, то и сумма двух других противоположных сторон также будет равна 15 см:

$b + d = 15$ см.

Периметр четырехугольника ($P$) вычисляется как сумма длин всех его сторон:

$P = a + b + c + d$

Мы можем сгруппировать слагаемые по парам противоположных сторон:

$P = (a + c) + (b + d)$

Теперь подставим известные значения сумм:

$P = 15 \text{ см} + 15 \text{ см} = 30 \text{ см}$

Ответ: 30 см.

1.193. Постройте прямоугольник по радиусу описанной окружности и углу между диагоналями (рис. 1.98).

Рис. 1.98

Задача состоит в построении прямоугольника по двум заданным элементам: отрезку, равному радиусу $R$ описанной окружности, и углу $\alpha$ между диагоналями.

В основе построения лежат ключевые свойства прямоугольника и его описанной окружности:

• Центр описанной окружности прямоугольника совпадает с точкой пересечения его диагоналей.
• Диагонали прямоугольника равны между собой и в точке пересечения делятся пополам.
• Длина каждой диагонали равна диаметру описанной окружности, то есть $2R$.
• Расстояние от центра окружности до любой из вершин прямоугольника равно радиусу $R$.
• Диагонали образуют при пересечении две пары равных вертикальных углов. Одна пара углов равна заданному углу $\alpha$, другая — смежному с ним углу $180^\circ - \alpha$.

На основании анализа, построение выполняется в следующей последовательности:

1. На плоскости выбираем произвольную точку $O$, которая будет центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей.
2. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным данному отрезку $R$. Все вершины будущего прямоугольника будут лежать на этой окружности.
3. Проводим через центр $O$ произвольную прямую. Точки ее пересечения с окружностью обозначаем как $A$ и $C$. Отрезок $AC$ является диаметром окружности и будет одной из диагоналей искомого прямоугольника.
4. Строим вторую прямую, проходящую через центр $O$ и образующую с прямой $AC$ угол, равный данному углу $\alpha$. Это можно сделать с помощью транспортира или классическим построением копирования угла с помощью циркуля и линейки.
5. Новая прямая пересечет окружность в двух точках, которые мы обозначим как $B$ и $D$. Отрезок $BD$ — это вторая диагональ прямоугольника.
6. Последовательно соединяем отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником.

Необходимо доказать, что построенный четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником и удовлетворяет условиям задачи.

• По построению, отрезки $AC$ и $BD$ являются диаметрами одной окружности. Следовательно, они равны ($AC = BD = 2R$) и в точке пересечения $O$ делятся пополам ($OA = OC = OB = OD = R$).
• Четырехугольник, у которого диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, является прямоугольником. Таким образом, $ABCD$ — прямоугольник.
• Радиус описанной окружности этого прямоугольника по построению равен $R$.
• Угол между его диагоналями $AC$ и $BD$ по построению равен $\alpha$.

Следовательно, построенный прямоугольник $ABCD$ удовлетворяет всем заданным условиям.

Ответ:

Для построения прямоугольника необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить окружность с заданным радиусом $R$.
2. Провести через ее центр два диаметра так, чтобы угол между ними был равен заданному углу $\alpha$.
3. Концы этих диаметров являются вершинами искомого прямоугольника. Соединить их последовательно отрезками.

1.194. Постройте ромб по стороне и радиусу вписанной окружности.

Анализ

Высота ромба $h$, проведенная между двумя его параллельными сторонами, равна диаметру вписанной в него окружности. Если радиус вписанной окружности равен $r$, то высота ромба $h = 2r$. Рассмотрим ромб $ABCD$ со стороной $a$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AD$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $ABH$ гипотенузой является сторона ромба $AB = a$, а одним из катетов — высота $BH = h = 2r$. Построение возможно только в том случае, если длина гипотенузы не меньше длины катета, то есть должно выполняться условие $a \ge h$, или $a \ge 2r$.

Построение

Пусть даны два отрезка, представляющие длину стороны $a$ и радиус вписанной окружности $r$.

1. Построим отрезок высоты $h$, равный удвоенному радиусу $2r$.
2. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $H$.
3. Восстановим в точке $H$ перпендикуляр к прямой $l$ и отложим на нем отрезок $HB$, равный высоте $h$.
4. Из точки $B$ как из центра проведем окружность радиусом $a$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $A$ ромба. (При $a > 2r$ будет две точки пересечения, можно выбрать любую. При $a = 2r$ точка $A$ совпадет с $H$).
5. Теперь у нас есть сторона ромба $AB$. Чтобы найти остальные вершины, отложим на прямой $l$ от точки $A$ отрезок $AD$, равный $a$.
6. Для нахождения четвертой вершины $C$ построим две дуги: одну с центром в точке $B$ и радиусом $a$, другую с центром в точке $D$ и радиусом $a$. Точка их пересечения и будет вершиной $C$.
7. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство

В построенном четырехугольнике $ABCD$ все стороны по построению равны $a$: $AB = a$ (шаг 4), $AD = a$ (шаг 5), $BC = a$ и $DC = a$ (шаг 6). Следовательно, $ABCD$ является ромбом. Высота этого ромба, опущенная из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AD$, по построению равна $BH = h = 2r$. Это означает, что радиус вписанной в него окружности равен $h/2 = r$. Таким образом, построенный ромб удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Анализ и построение показывают, что задача имеет решение не при любых заданных $a$ и $r$.

• Если $a < 2r$, то на шаге 4 окружность с центром в $B$ и радиусом $a$ не пересечет прямую $l$, так как расстояние от $B$ до $l$ равно $2r$, что больше радиуса. Построение невозможно, решений нет.
• Если $a = 2r$, окружность коснется прямой $l$ в единственной точке $H$. В этом случае $A \equiv H$, и ромб будет являться квадратом со стороной $a$. Решение единственно.
• Если $a > 2r$, окружность пересечет прямую $l$ в двух точках, симметричных относительно перпендикуляра $BH$. Выбор любой из этих точек для вершины $A$ приводит к построению одного и того же ромба (с точностью до симметрии). Следовательно, решение единственно с точностью до конгруэнтности.

Ответ: Построение искомого ромба возможно при условии $a \ge 2r$. В этом случае задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

1.195. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в который по условию можно вписать окружность. Требуется доказать, что $ABCD$ является ромбом.

Доказательство строится на двух ключевых свойствах: свойстве параллелограмма и свойстве описанного четырехугольника.

1. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны равны. Обозначим длины его смежных сторон как $a$ и $b$. Тогда $AB = CD = a$ и $BC = DA = b$.

2. По условию, в параллелограмм можно вписать окружность. Четырехугольник, в который можно вписать окружность, называется описанным. Для любого описанного четырехугольника справедлива теорема о том, что суммы длин его противолежащих сторон равны (теорема Пито).

Применительно к нашему параллелограмму $ABCD$ это свойство записывается в виде следующего равенства:
$AB + CD = BC + DA$

3. Теперь подставим в это равенство длины сторон, используя свойство параллелограмма из пункта 1:
$a + a = b + b$
$2a = 2b$
$a = b$

4. Равенство $a = b$ означает, что смежные стороны параллелограмма равны. Параллелограмм, у которого все стороны равны (или, что то же самое, у которого равны смежные стороны), по определению является ромбом.

Таким образом, мы доказали, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом.

Ответ: Если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является описанным четырехугольником. Согласно свойству описанного четырехугольника, суммы его противолежащих сторон равны. Пусть смежные стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Тогда выполняется равенство $a+a = b+b$, из которого следует, что $a=b$. Поскольку все стороны параллелограмма оказываются равными, он является ромбом.

1.196. В параллелограмм вписана окружность. Как можно охарактеризовать этот параллелограмм?

Для того чтобы охарактеризовать параллелограмм, в который вписана окружность, воспользуемся свойством описанных четырехугольников. Четырехугольник называется описанным, если в него можно вписать окружность (т.е. существует окружность, касающаяся всех его сторон).

Основное свойство описанного выпуклого четырехугольника (известное как теорема Пито) гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны.

Рассмотрим параллелограмм. Пусть длины его смежных сторон равны $a$ и $b$. Поскольку у параллелограмма противоположные стороны попарно равны, то длины его четырех сторон будут $a$, $b$, $a$, $b$.

Так как в наш параллелограмм вписана окружность, он является описанным четырехугольником, и для него должно выполняться равенство сумм противоположных сторон:$a + a = b + b$

Упростим это уравнение:$2a = 2b$$a = b$

Полученное равенство $a = b$ означает, что все стороны параллелограмма равны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.

Ответ: Если в параллелограмм вписана окружность, то этот параллелограмм является ромбом.

1.197. В прямоугольнике диагональ образует с одной из сторон угол в $30^\circ$, а радиус окружности, описанной около него, равен $R$. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник, стороны которого равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$. Окружность, описанная около прямоугольника, имеет своим центром точку пересечения его диагоналей, а ее диаметр равен длине диагонали.

По условию задачи, радиус описанной окружности равен $R$. Следовательно, ее диаметр равен $2R$. Таким образом, длина диагонали прямоугольника $d$ равна диаметру описанной окружности:$d = 2R$

Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Катетами этих треугольников являются стороны прямоугольника ($a$ и $b$), а гипотенузой — его диагональ ($d$).

По условию, диагональ образует с одной из сторон угол в $30^\circ$. Пусть этот угол $\alpha$ образован диагональю $d$ и стороной $a$. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$, сторона $b$ будет противолежащим катетом к углу $\alpha=30^\circ$, а сторона $a$ — прилежащим катетом.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$\sin(30^\circ) = \frac{b}{d}$

Отсюда можем выразить сторону $b$:$b = d \cdot \sin(30^\circ)$

Подставим известные значения $d = 2R$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:$b = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$

Аналогично, для стороны $a$ (прилежащего катета):$a = d \cdot \cos(30^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

Чтобы найти меньшую сторону, сравним $a$ и $b$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, то $R\sqrt{3} > R$. Следовательно, сторона $b$ является меньшей.

Также можно отметить, что в прямоугольном треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона (катет). Углы в рассматриваемом нами треугольнике равны $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$. Меньший острый угол равен $30^\circ$. Сторона, лежащая напротив этого угла, и есть меньшая сторона прямоугольника. Ее длина, как мы уже нашли, равна $R$.

Ответ: $R$

1.198. Докажите, что около всякого прямоугольника можно описать окружность.

Для того чтобы доказать, что около любого прямоугольника можно описать окружность, рассмотрим произвольный прямоугольник $ABCD$.

Проведем в этом прямоугольнике диагонали $AC$ и $BD$. Пусть точка $O$ является точкой их пересечения.

Воспользуемся одним из ключевых свойств прямоугольника: его диагонали равны друг другу и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что:

$AC = BD$

и

$AO = OC = \frac{1}{2}AC$

$BO = OD = \frac{1}{2}BD$

Из этих равенств следует, что все четыре отрезка, соединяющие точку пересечения диагоналей с вершинами прямоугольника, равны между собой:

$AO = BO = CO = DO$

Таким образом, точка $O$ находится на одинаковом расстоянии от всех четырех вершин прямоугольника ($A$, $B$, $C$ и $D$).

По определению, окружность есть множество всех точек на плоскости, находящихся на заданном расстоянии от данной точки, называемой центром. В нашем случае, мы нашли точку $O$, которая равноудалена от всех вершин прямоугольника. Следовательно, можно построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = AO$, которая будет проходить через все четыре вершины прямоугольника $A, B, C$ и $D$. Эта окружность и является описанной около прямоугольника.

Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

1.199. Боковая сторона равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна 14 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция. Обозначим ее основания как $a$ и $b$, а боковые стороны как $c$ и $d$.

Поскольку трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны. По условию задачи, длина боковой стороны составляет 14 см. Таким образом, $c = d = 14$ см.

Трапеция описана около окружности. Это означает, что для нее выполняется свойство описанного четырехугольника: суммы длин противоположных сторон равны. В случае трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: $a + b = c + d$

Найдем сумму длин боковых сторон: $c + d = 14 \text{ см} + 14 \text{ см} = 28 \text{ см}$

Следовательно, сумма длин оснований также равна 28 см: $a + b = 28 \text{ см}$

Периметр трапеции ($P$) — это сумма длин всех ее сторон: $P = a + b + c + d$

Мы можем перегруппировать слагаемые, чтобы использовать найденные нами суммы: $P = (a + b) + (c + d)$

Теперь подставим числовые значения: $P = 28 \text{ см} + 28 \text{ см} = 56 \text{ см}$

Ответ: 56 см.

1.200. Перпендикуляры, проведенные к сторонам угла $AOB$ в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $C$, лежащей внутри этого угла. Докажите, что около четырехугольника $ACBO$ можно описать окружность (рис. 1.99).

Рис. 1.99

Для доказательства того, что около четырехугольника ACBO можно описать окружность, мы покажем, что все его четыре вершины лежат на одной окружности.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. По условию задачи, перпендикуляр, проведенный к стороне OA в точке A, пересекает другой перпендикуляр в точке C. Это означает, что прямая AC перпендикулярна прямой OA, и, следовательно, угол $\angle OAC$ является прямым: $\angle OAC = 90^\circ$.

Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным. Известно, что окружность, описанная около прямоугольного треугольника, имеет центр в середине его гипотенузы, а сама гипотенуза является диаметром этой окружности. В треугольнике $\triangle OAC$ гипотенузой является сторона OC, лежащая напротив прямого угла. Таким образом, точки O, A и C лежат на окружности с диаметром OC.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OBC$. Аналогично, по условию, прямая BC перпендикулярна прямой OB, следовательно, угол $\angle OBC$ является прямым: $\angle OBC = 90^\circ$.

Треугольник $\triangle OBC$ также является прямоугольным с гипотенузой OC. Следовательно, точки O, B и C также лежат на окружности с диаметром OC.

Поскольку точки O, A, C лежат на окружности с диаметром OC, и точки O, B, C лежат на той же самой окружности, то все четыре точки A, C, B, O лежат на одной и той же окружности. А это и означает, что около четырехугольника ACBO можно описать окружность.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Около четырехугольника ACBO можно описать окружность. Это следует из того, что углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ прямые, а значит, точки A и B лежат на окружности, построенной на отрезке OC как на диаметре.