Страница 57 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

БЕЙБІТШІЛІК ЖӘНЕ КЕЛІСІМ САРАЙЫ

Творческая работа

Основанием пирамиды, построенной в Астане, является квадрат со стороной, равной 61,8 м, боковые ребра примерно равны 75,7 м. Каждая боковая грань пирамиды разделена отрезками, параллельными боковым ребрам треугольника.

1) Определите длину отрезков, округляя результат до 0,1 см.

2) Проверьте результат, применяя теорему Фалеса.

3) Определите высоту боковых граней данной пирамиды, выражая результат в мерах.

1)Для определения длины отрезков будем исходить из того, что боковые ребра каждой треугольной грани пирамиды разделены на 5 равных частей, а искомые отрезки параллельны основанию этой грани. Это предположение основано на визуальном анализе изображения и упоминании теоремы Фалеса в следующем пункте, несмотря на возможную неточность в формулировке задания.

Боковая грань пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $a = 61,8$ м (сторона квадрата в основании пирамиды) и боковыми сторонами (ребрами пирамиды) $l = 75,7$ м.

Четыре отрезка, параллельные основанию, делят боковую грань на 5 частей по высоте и отсекают от нее четыре треугольника, подобных исходному. Так как боковые ребра разделены на 5 равных частей, коэффициенты подобия этих треугольников к исходной грани будут равны $\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$.

Длины этих отрезков ($L_1, L_2, L_3, L_4$) можно найти, умножив длину основания $a$ на соответствующий коэффициент подобия:

• $L_1 = \frac{1}{5} \times 61,8 = 12,36$ м
• $L_2 = \frac{2}{5} \times 61,8 = 24,72$ м
• $L_3 = \frac{3}{5} \times 61,8 = 37,08$ м
• $L_4 = \frac{4}{5} \times 61,8 = 49,44$ м

Задание требует округлить результат до 0,1 см. Для этого переведем метры в сантиметры ($1$ м $= 100$ см):

• $L_1 = 12,36$ м $= 1236$ см. Округленный результат: $1236,0$ см.
• $L_2 = 24,72$ м $= 2472$ см. Округленный результат: $2472,0$ см.
• $L_3 = 37,08$ м $= 3708$ см. Округленный результат: $3708,0$ см.
• $L_4 = 49,44$ м $= 4944$ см. Округленный результат: $4944,0$ см.

Ответ: Длины отрезков равны $1236,0$ см, $2472,0$ см, $3708,0$ см и $4944,0$ см.

2)Результаты, полученные в пункте 1, основаны на свойстве подобных треугольников, которое является прямым следствием обобщенной теоремы Фалеса. Проверка заключается в формальном применении этой теоремы.

Теорема Фалеса гласит, что если стороны угла пересечь параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые на одной стороне угла, будут пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой стороне.

В нашем случае, в треугольнике боковой грани (пусть его вершина $S$, а основание $BC$) проведены отрезки ($P_1Q_1, P_2Q_2, \ldots$), параллельные основанию $BC$. По условию, точки $P_1, P_2, P_3, P_4$ делят боковое ребро $SB$ на 5 равных частей. Из обобщенной теоремы Фалеса следует, что для каждого отрезка $P_iQ_i$ выполняется соотношение:$\frac{SP_i}{SB} = \frac{SQ_i}{SC} = \frac{P_iQ_i}{BC}$

Так как $\frac{SP_1}{SB} = \frac{1}{5}$, $\frac{SP_2}{SB} = \frac{2}{5}$, и так далее, то длины отрезков вычисляются следующим образом:

• $P_1Q_1 = BC \times \frac{1}{5} = 61,8 \times 0,2 = 12,36$ м
• $P_2Q_2 = BC \times \frac{2}{5} = 61,8 \times 0,4 = 24,72$ м
• $P_3Q_3 = BC \times \frac{3}{5} = 61,8 \times 0,6 = 37,08$ м
• $P_4Q_4 = BC \times \frac{4}{5} = 61,8 \times 0,8 = 49,44$ м

Эти вычисления полностью совпадают с расчетами из пункта 1, что подтверждает их правильность.

Ответ: Применение теоремы Фалеса подтверждает правильность расчетов, выполненных в пункте 1.

3)Высота боковой грани пирамиды (также называемая апофемой) — это высота равнобедренного треугольника, из которого состоит грань.

Мы имеем равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l = 75,7$ м и основанием $a = 61,8$ м. Высота $h_a$, проведенная к основанию, делит его на два равных отрезка и образует два одинаковых прямоугольных треугольника.

В каждом из этих прямоугольных треугольников:

• гипотенуза — это боковая сторона $l = 75,7$ м;
• один катет — это половина основания $\frac{a}{2} = \frac{61,8}{2} = 30,9$ м;
• второй катет — это искомая высота $h_a$.

По теореме Пифагора $l^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2$. Выразим и вычислим высоту $h_a$:

$h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{75,7^2 - 30,9^2}$

$h_a = \sqrt{5730,49 - 954,81} = \sqrt{4775,68}$

$h_a \approx 69,106$ м.

Выразим результат в метрах, округлив до одного знака после запятой, что соответствует точности исходных данных.

Ответ: Высота боковых граней пирамиды примерно равна $69,1$ м.

2.1. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $a$, гипотенуза – $c$. Найдите косинус угла, противолежащего данному катету, если:

1) $a = 10, c = 12$;

2) $a = 3, c = 5$;

3) $a = 1,5, c = 3$.

Пусть в прямоугольном треугольнике дан катет $a$ и гипотенуза $c$. Обозначим угол, противолежащий катету $a$, как $\alpha$.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $sin(\alpha) = \frac{a}{c}$.

Чтобы найти косинус этого же угла, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin²(\alpha) + cos²(\alpha) = 1$.

Отсюда $cos²(\alpha) = 1 - sin²(\alpha)$. Поскольку угол $\alpha$ в прямоугольном треугольнике является острым (меньше 90°), его косинус положителен. Следовательно, $cos(\alpha) = \sqrt{1 - sin²(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{a}{c})²}$.

Решим задачу для каждого из случаев.

1) $a = 10, c = 12$

Найдем синус угла $\alpha$, противолежащего катету $a$:
$sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

Теперь найдем косинус этого угла:
$cos(\alpha) = \sqrt{1 - sin²(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{5}{6})²} = \sqrt{1 - \frac{25}{36}} = \sqrt{\frac{36 - 25}{36}} = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{11}}{6}$.

2) $a = 3, c = 5$

Найдем синус угла $\alpha$, противолежащего катету $a$:
$sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{3}{5}$.

Теперь найдем косинус этого угла:
$cos(\alpha) = \sqrt{1 - sin²(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})²} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

3) $a = 1,5, c = 3$

Найдем синус угла $\alpha$, противолежащего катету $a$:
$sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{1.5}{3} = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем косинус этого угла:
$cos(\alpha) = \sqrt{1 - sin²(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})²} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4 - 1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2.2. Постройте угол, косинус которого равен:

1) $ \frac{3}{5} $;

2) $ \frac{4}{9} $;

3) 0,5;

4) 0,8.

Для построения угла по заданному значению его косинуса мы будем использовать определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Косинус угла — это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе. Следовательно, для построения угла $ \alpha $, косинус которого равен $ \frac{a}{c} $, необходимо построить прямоугольный треугольник с прилежащим катетом $ a $ и гипотенузой $ c $. Угол между этим катетом и гипотенузой и будет искомым углом $ \alpha $.

1) $ \frac{3}{5} $

Чтобы построить угол, косинус которого равен $ \frac{3}{5} $, нужно построить прямоугольный треугольник, у которого прилежащий катет равен 3 условным единицам, а гипотенуза — 5 условным единицам.
Порядок построения:
1. Начертим луч с началом в точке A. На этом луче отложим отрезок AB, равный 3 условным единицам. Этот отрезок будет прилежащим катетом.
2. В точке B восстановим перпендикуляр к лучу AB.
3. Из точки A как из центра проведем дугу окружности радиусом 5 условных единиц (длина гипотенузы).
4. Точку пересечения дуги с перпендикуляром обозначим C.
5. Соединим точки A и C.
В результате построен прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Угол $ \angle BAC $ является искомым, так как по построению $ \cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5} $.
Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике является искомым.

2) $ \frac{4}{9} $

Построим прямоугольный треугольник, у которого прилежащий катет равен 4 условным единицам, а гипотенуза — 9 условным единицам.
Порядок построения:
1. Начертим луч с началом в точке A и отложим на нем отрезок AB длиной 4 единицы.
2. В точке B построим перпендикуляр к AB.
3. Из точки A проведем дугу окружности радиусом 9 единиц.
4. Точку пересечения дуги с перпендикуляром обозначим C.
5. Соединим точки A и C.
Полученный угол $ \angle BAC $ в прямоугольном треугольнике ABC является искомым, поскольку $ \cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{9} $.
Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике является искомым.

3) 0,5

Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $ 0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $.
Теперь задача сводится к построению угла, косинус которого равен $ \frac{1}{2} $. Построим прямоугольный треугольник с прилежащим катетом равным 1 условной единице и гипотенузой равной 2 условным единицам.
Порядок построения:
1. Начертим луч с началом в точке A и отложим на нем отрезок AB длиной 1 единицу.
2. В точке B построим перпендикуляр к AB.
3. Из точки A проведем дугу окружности радиусом 2 единицы.
4. Точку пересечения дуги с перпендикуляром обозначим C.
5. Соединим точки A и C.
Полученный угол $ \angle BAC $ в прямоугольном треугольнике ABC является искомым, так как $ \cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{2} $. (Этот угол равен $ 60^\circ $).
Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике является искомым.

4) 0,8

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной и сократим ее: $ 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $.
Задача сводится к построению угла, косинус которого равен $ \frac{4}{5} $. Построим прямоугольный треугольник с прилежащим катетом равным 4 условным единицам и гипотенузой равной 5 условным единицам.
Порядок построения:
1. Начертим луч с началом в точке A и отложим на нем отрезок AB длиной 4 единицы.
2. В точке B построим перпендикуляр к AB.
3. Из точки A проведем дугу окружности радиусом 5 единиц.
4. Точку пересечения дуги с перпендикуляром обозначим C.
5. Соединим точки A и C.
Полученный угол $ \angle BAC $ в прямоугольном треугольнике ABC является искомым, поскольку $ \cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5} $.
Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике является искомым.

2.3. В прямоугольном треугольнике даны катеты $a$ и $b$. Найдите его гипотенузу, если: 1) $a = 3, b = 4$; 2) $a = 1, b = 1$; 3) $a = 5, b = 6$; 4) $a = 0.5, b = 1.2$.

Для нахождения гипотенузы $c$ прямоугольного треугольника по известным катетам $a$ и $b$ используется теорема Пифагора. Согласно этой теореме, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $c^2 = a^2 + b^2$. Следовательно, гипотенузу можно вычислить по формуле: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

1) Даны катеты $a = 3$ и $b = 4$.
Подставим эти значения в формулу для нахождения гипотенузы $c$:
$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5.

2) Даны катеты $a = 1$ и $b = 1$.
Подставим эти значения в формулу:
$c = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.

3) Даны катеты $a = 5$ и $b = 6$.
Подставим эти значения в формулу:
$c = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$.
Ответ: $\sqrt{61}$.

4) Даны катеты $a = 0,5$ и $b = 1,2$.
Подставим эти значения в формулу:
$c = \sqrt{(0,5)^2 + (1,2)^2} = \sqrt{0,25 + 1,44} = \sqrt{1,69} = 1,3$.
Ответ: 1,3.

2.4. Стороны треугольника относятся как 5 : 12 : 13. Докажите, что этот треугольник является прямоугольным.

Для доказательства того, что данный треугольник является прямоугольным, воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Она гласит: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, их длины относятся как $5 : 12 : 13$. Это значит, что существует такой коэффициент пропорциональности $k > 0$, что стороны треугольника равны:

$a = 5k$
$b = 12k$
$c = 13k$

В прямоугольном треугольнике наибольшая сторона является гипотенузой. В нашем случае это сторона $c = 13k$. Две другие стороны, $a = 5k$ и $b = 12k$, должны быть катетами. Проверим, выполняется ли для этих сторон равенство $a^2 + b^2 = c^2$.

Найдем сумму квадратов двух меньших сторон (предполагаемых катетов):
$a^2 + b^2 = (5k)^2 + (12k)^2 = 25k^2 + 144k^2 = 169k^2$.

Найдем квадрат наибольшей стороны (предполагаемой гипотенузы):
$c^2 = (13k)^2 = 169k^2$.

Сравнивая результаты, получаем:
$169k^2 = 169k^2$, следовательно, $a^2 + b^2 = c^2$.

Поскольку квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник с таким соотношением сторон является прямоугольным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, так как для его сторон выполняется соотношение, соответствующее теореме Пифагора: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

2.5. В прямоугольном треугольнике даны катет $a$ и гипотенуза $c$. Найдите его второй катет, если

1) $a=3, c=5;$

2) $a=5, c=13;$

3) $a=0,5, c=1,3.$

Для нахождения второго катета в прямоугольном треугольнике используется теорема Пифагора. Если $a$ и $b$ — это катеты, а $c$ — гипотенуза, то их длины связаны следующим соотношением:

$a^2 + b^2 = c^2$

Чтобы найти неизвестный катет, который мы обозначим как $b$, выразим его из этой формулы:

$b^2 = c^2 - a^2$

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Теперь применим эту формулу для каждого из трех случаев.

1) Дано: катет $a = 3$, гипотенуза $c = 5$.

Подставляем значения в формулу, чтобы найти второй катет $b$:

$b = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: 4.

2) Дано: катет $a = 5$, гипотенуза $c = 13$.

Подставляем значения в формулу:

$b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12.

3) Дано: катет $a = 0,5$, гипотенуза $c = 1,3$.

Подставляем значения в формулу:

$b = \sqrt{(1,3)^2 - (0,5)^2} = \sqrt{1,69 - 0,25} = \sqrt{1,44} = 1,2$.

Ответ: 1,2.