Номер 2.2, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.2. Постройте угол, косинус которого равен:

1) $ \frac{3}{5} $;

2) $ \frac{4}{9} $;

3) 0,5;

4) 0,8.

Для построения угла по заданному значению его косинуса мы будем использовать определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Косинус угла — это отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе. Следовательно, для построения угла $ \alpha $, косинус которого равен $ \frac{a}{c} $, необходимо построить прямоугольный треугольник с прилежащим катетом $ a $ и гипотенузой $ c $. Угол между этим катетом и гипотенузой и будет искомым углом $ \alpha $.

1) $ \frac{3}{5} $

Чтобы построить угол, косинус которого равен $ \frac{3}{5} $, нужно построить прямоугольный треугольник, у которого прилежащий катет равен 3 условным единицам, а гипотенуза — 5 условным единицам.
Порядок построения:
1. Начертим луч с началом в точке A. На этом луче отложим отрезок AB, равный 3 условным единицам. Этот отрезок будет прилежащим катетом.
2. В точке B восстановим перпендикуляр к лучу AB.
3. Из точки A как из центра проведем дугу окружности радиусом 5 условных единиц (длина гипотенузы).
4. Точку пересечения дуги с перпендикуляром обозначим C.
5. Соединим точки A и C.
В результате построен прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Угол $ \angle BAC $ является искомым, так как по построению $ \cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5} $.
Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике является искомым.

2) $ \frac{4}{9} $

Построим прямоугольный треугольник, у которого прилежащий катет равен 4 условным единицам, а гипотенуза — 9 условным единицам.
Порядок построения:
1. Начертим луч с началом в точке A и отложим на нем отрезок AB длиной 4 единицы.
2. В точке B построим перпендикуляр к AB.
3. Из точки A проведем дугу окружности радиусом 9 единиц.
4. Точку пересечения дуги с перпендикуляром обозначим C.
5. Соединим точки A и C.
Полученный угол $ \angle BAC $ в прямоугольном треугольнике ABC является искомым, поскольку $ \cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{9} $.
Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике является искомым.

3) 0,5

Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $ 0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $.
Теперь задача сводится к построению угла, косинус которого равен $ \frac{1}{2} $. Построим прямоугольный треугольник с прилежащим катетом равным 1 условной единице и гипотенузой равной 2 условным единицам.
Порядок построения:
1. Начертим луч с началом в точке A и отложим на нем отрезок AB длиной 1 единицу.
2. В точке B построим перпендикуляр к AB.
3. Из точки A проведем дугу окружности радиусом 2 единицы.
4. Точку пересечения дуги с перпендикуляром обозначим C.
5. Соединим точки A и C.
Полученный угол $ \angle BAC $ в прямоугольном треугольнике ABC является искомым, так как $ \cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{2} $. (Этот угол равен $ 60^\circ $).
Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике является искомым.

4) 0,8

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной и сократим ее: $ 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $.
Задача сводится к построению угла, косинус которого равен $ \frac{4}{5} $. Построим прямоугольный треугольник с прилежащим катетом равным 4 условным единицам и гипотенузой равной 5 условным единицам.
Порядок построения:
1. Начертим луч с началом в точке A и отложим на нем отрезок AB длиной 4 единицы.
2. В точке B построим перпендикуляр к AB.
3. Из точки A проведем дугу окружности радиусом 5 единиц.
4. Точку пересечения дуги с перпендикуляром обозначим C.
5. Соединим точки A и C.
Полученный угол $ \angle BAC $ в прямоугольном треугольнике ABC является искомым, поскольку $ \cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5} $.
Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике является искомым.