Номер 1.207, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.207. Покажите, что заключение задачи 1.206 выполняется для любого четырехугольника, описанного около окружности (рис. 1.100).

Для решения этой задачи необходимо сначала понять, о каком заключении из задачи 1.206 идет речь. Обычно в таких задачах доказывается, что для четырехугольника, описанного около окружности, суммы площадей треугольников, образованных соединением противоположных вершин с центром вписанной окружности, равны. Докажем это свойство для произвольного описанного четырехугольника $ABCD$.

Пусть $O$ — центр вписанной в четырехугольник $ABCD$ окружности, а $r$ — ее радиус. Требуется доказать, что сумма площадей треугольников $AOB$ и $COD$ равна сумме площадей треугольников $BOC$ и $DOA$:
$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle DOA}$

Для доказательства воспользуемся свойством описанного четырехугольника, известным как теорема Пито: суммы длин противоположных сторон описанного четырехугольника равны. То есть, $AB + CD = BC + DA$.

Докажем теорему Пито. Пусть окружность касается сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков от вершины до точек касания равны:
$AK = AN$
$BK = BL$
$CL = CM$
$DL = DN$

Выразим суммы длин противоположных сторон:
$AB + CD = (AK + KB) + (CM + MD)$
$BC + DA = (BL + LC) + (DN + NA)$

Используя равенства отрезков касательных, мы можем переписать эти суммы:
$AB + CD = AN + BL + CL + DN$
$BC + DA = BK + CM + DM + AK$
Сравнивая правые части, видим, что они состоят из одних и тех же слагаемых, значит $AB + CD = BC + DA$. Теорема Пито доказана.

Теперь вернемся к площадям. Четырехугольник $ABCD$ можно разбить на четыре треугольника с общей вершиной в центре $O$: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Высотой каждого из этих треугольников, проведенной из вершины $O$, является радиус вписанной окружности $r$, так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания.
Площади этих треугольников вычисляются по формуле:
$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r$
$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r$
$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot r$
$S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot r$

Найдем суммы площадей пар треугольников с противоположными основаниями:
$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} AB \cdot r + \frac{1}{2} CD \cdot r = \frac{1}{2} r (AB + CD)$
$S_{\triangle BOC} + S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} BC \cdot r + \frac{1}{2} DA \cdot r = \frac{1}{2} r (BC + DA)$

Поскольку, согласно теореме Пито, $AB + CD = BC + DA$, то правые части полученных выражений равны. Следовательно, равны и левые части:
$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle DOA}$
Таким образом, мы показали, что заключение выполняется для любого четырехугольника, описанного около окружности.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого четырехугольника $ABCD$, описанного около окружности с центром $O$, выполняется равенство $S_{\triangle AOB} + S_{\triangle COD} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle DOA}$.