Номер 1.203, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.203. Докажите, что около четырехугольника, полученного при пересечении биссектрис внешних углов произвольного выпуклого четырехугольника, можно описать окружность.

Для доказательства того, что около четырехугольника, полученного при пересечении биссектрис внешних углов произвольного выпуклого четырехугольника, можно описать окружность, необходимо показать, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Доказательство

Пусть дан произвольный выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим его внутренние углы при вершинах $A, B, C, D$ как $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ соответственно. Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$, то есть:
$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

Внешние углы при вершинах $A, B, C, D$ равны соответственно $180^\circ - \alpha$, $180^\circ - \beta$, $180^\circ - \gamma$, $180^\circ - \delta$.

Проведем биссектрисы этих внешних углов. Пусть:
- биссектрисы внешних углов при вершинах $A$ и $B$ пересекаются в точке $P$;
- биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ пересекаются в точке $Q$;
- биссектрисы внешних углов при вершинах $C$ и $D$ пересекаются в точке $R$;
- биссектрисы внешних углов при вершинах $D$ и $A$ пересекаются в точке $S$.

В результате мы получили новый четырехугольник $PQRS$. Найдем величины его углов.

Рассмотрим треугольник $APB$. Его углы при вершинах $A$ и $B$ равны половинам соответствующих внешних углов четырехугольника $ABCD$.
$\angle PAB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$
$\angle PBA = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$

Сумма углов в треугольнике $APB$ равна $180^\circ$. Следовательно, угол при вершине $P$ (угол $\angle APB$) равен:
$\angle P = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA) = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2} + 90^\circ - \frac{\beta}{2})$
$\angle P = 180^\circ - 180^\circ + \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}$

Аналогично рассмотрим треугольник $CRD$. Его углы при вершинах $C$ и $D$ равны половинам соответствующих внешних углов четырехугольника $ABCD$.
$\angle RCD = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2}$
$\angle RDC = \frac{180^\circ - \delta}{2} = 90^\circ - \frac{\delta}{2}$

Угол при вершине $R$ (угол $\angle CRD$) равен:
$\angle R = 180^\circ - (\angle RCD + \angle RDC) = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\gamma}{2} + 90^\circ - \frac{\delta}{2})$
$\angle R = 180^\circ - 180^\circ + \frac{\gamma}{2} + \frac{\delta}{2} = \frac{\gamma + \delta}{2}$

Теперь найдем сумму противоположных углов $\angle P$ и $\angle R$ четырехугольника $PQRS$:
$\angle P + \angle R = \frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{\gamma + \delta}{2} = \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2}$

Так как $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$, подставим это значение в полученное выражение:
$\angle P + \angle R = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$

Поскольку сумма противоположных углов четырехугольника $PQRS$ равна $180^\circ$, по признаку вписанного четырехугольника, около него можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сумма противоположных углов четырехугольника, образованного биссектрисами внешних углов, равна $180^\circ$, следовательно, около него всегда можно описать окружность.