Номер 1.205, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.205. Может ли радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию с основаниями 24 см и 16 см, равняться 8 см?

Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны. Для равнобедренной трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ это условие выглядит так: $a + b = c + c = 2c$.

Сначала определим, какой должна быть боковая сторона $c$ у трапеции с основаниями $a=24$ см и $b=16$ см, чтобы в нее можно было вписать окружность.

$c = \frac{a+b}{2} = \frac{24+16}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см.

Теперь найдем высоту $h$ такой трапеции. Если из вершины меньшего основания опустить перпендикуляр на большее основание, образуется прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника будет боковая сторона $c$, одним из катетов — высота $h$, а вторым катетом — отрезок, длина которого равна полуразности оснований:

$\frac{a-b}{2} = \frac{24-16}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

$h^2 = c^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

$h^2 = 20^2 - 4^2 = 400 - 16 = 384$

$h = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$ см.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности ($h = 2r$), следовательно, радиус $r$ равен половине высоты:

$r = \frac{h}{2} = \frac{8\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6}$ см.

Мы вычислили, что для данной трапеции радиус вписанной окружности может быть только $4\sqrt{6}$ см. Теперь сравним это значение со значением, данным в условии задачи (8 см).

Предположим, что $4\sqrt{6} = 8$.

Разделим обе части уравнения на 4:

$\sqrt{6} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$6 = 4$

Полученное равенство является ложным. Это означает, что радиус вписанной окружности не может быть равен 8 см.

Альтернативное решение (методом от противного):

Предположим, что радиус вписанной окружности равен $r = 8$ см. Тогда высота трапеции $h$, равная диаметру окружности, составляет $h = 2r = 16$ см.

Так как в трапецию вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон: $24 + 16 = 2c$, откуда боковая сторона $c = 20$ см.

Проверим, выполняется ли для этих значений теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной $c$, высотой $h$ и отрезком $\frac{a-b}{2} = 4$ см.

$c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

$20^2 = 16^2 + 4^2$

$400 = 256 + 16$

$400 = 272$

Мы получили неверное равенство, что означает, что наше первоначальное предположение о том, что радиус равен 8 см, неверно. Равнобедренной трапеции с основаниями 24 и 16 см и высотой 16 см, в которую можно вписать окружность, не существует.

Ответ: нет, не может.