Номер 1.198, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.8. Вписанные и описанные четырехугольники. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.198, страница 50.

Учебник rus.

1.198. Докажите, что около всякого прямоугольника можно описать окружность.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Для того чтобы доказать, что около любого прямоугольника можно описать окружность, рассмотрим произвольный прямоугольник $ABCD$.

Проведем в этом прямоугольнике диагонали $AC$ и $BD$. Пусть точка $O$ является точкой их пересечения.

Воспользуемся одним из ключевых свойств прямоугольника: его диагонали равны друг другу и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что:

$AC = BD$

и

$AO = OC = \frac{1}{2}AC$

$BO = OD = \frac{1}{2}BD$

Из этих равенств следует, что все четыре отрезка, соединяющие точку пересечения диагоналей с вершинами прямоугольника, равны между собой:

$AO = BO = CO = DO$

Таким образом, точка $O$ находится на одинаковом расстоянии от всех четырех вершин прямоугольника ($A$, $B$, $C$ и $D$).

По определению, окружность есть множество всех точек на плоскости, находящихся на заданном расстоянии от данной точки, называемой центром. В нашем случае, мы нашли точку $O$, которая равноудалена от всех вершин прямоугольника. Следовательно, можно построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = AO$, которая будет проходить через все четыре вершины прямоугольника $A, B, C$ и $D$. Эта окружность и является описанной около прямоугольника.

Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.