Номер 1.191, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.191. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, углы которого, взятые в последовательном порядке, относятся как:

1) $2, 2, 3, 3$;

2) $2, 5, 3, 4$;

3) $3, 5, 3, 1$?

Для того чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны (теорема Пито). Однако для решения данной задачи, где заданы соотношения углов, удобнее использовать другой подход.

Ключевая идея заключается в том, что для любого набора из четырех углов $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$, которые в сумме дают $360^\circ$ и каждый из которых меньше $180^\circ$ (то есть они могут быть углами выпуклого четырехугольника), можно построить четырехугольник с такими углами, в который вписывается окружность.

Это можно показать конструктивно. Возьмем любую окружность с центром в точке $O$. Углы четырехугольника, описанного около окружности, связаны с центральными углами, образованными радиусами, проведенными в точки касания смежных сторон. Если угол четырехугольника равен $\alpha$, то соответствующий ему центральный угол равен $180^\circ - \alpha$. Чтобы построить четырехугольник с заданными углами $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$, нужно на окружности выбрать четыре точки касания так, чтобы центральные углы между ними последовательно равнялись $180^\circ - \alpha_1$, $180^\circ - \alpha_2$, $180^\circ - \alpha_3$ и $180^\circ - \alpha_4$. Сумма этих центральных углов будет равна:

$(180^\circ - \alpha_1) + (180^\circ - \alpha_2) + (180^\circ - \alpha_3) + (180^\circ - \alpha_4) = 720^\circ - (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4) = 720^\circ - 360^\circ = 360^\circ$.

Поскольку сумма центральных углов равна $360^\circ$, такие точки на окружности всегда существуют. Касательные, проведенные к окружности в этих точках, образуют описанный четырехугольник с заданными углами.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы проверить, могут ли данные соотношения определять углы выпуклого четырехугольника, то есть все ли вычисленные углы будут меньше $180^\circ$.

Пусть углы четырехугольника относятся как $2:2:3:3$. Обозначим их как $2x, 2x, 3x, 3x$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$.

$2x + 2x + 3x + 3x = 360^\circ$

$10x = 360^\circ$

$x = 36^\circ$

Тогда углы четырехугольника равны:

$\alpha_1 = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

$\alpha_2 = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

$\alpha_3 = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$

$\alpha_4 = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$

Все углы меньше $180^\circ$, значит, выпуклый четырехугольник с такими углами существует. Следовательно, в него можно вписать окружность.

Ответ: можно.

Пусть углы четырехугольника относятся как $2:5:3:4$. Обозначим их как $2x, 5x, 3x, 4x$.

$2x + 5x + 3x + 4x = 360^\circ$

$14x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{14} = \frac{180^\circ}{7}$

Тогда углы четырехугольника равны:

$\alpha_1 = 2 \cdot \frac{180^\circ}{7} = \frac{360^\circ}{7} \approx 51.4^\circ$

$\alpha_2 = 5 \cdot \frac{180^\circ}{7} = \frac{900^\circ}{7} \approx 128.6^\circ$

$\alpha_3 = 3 \cdot \frac{180^\circ}{7} = \frac{540^\circ}{7} \approx 77.1^\circ$

$\alpha_4 = 4 \cdot \frac{180^\circ}{7} = \frac{720^\circ}{7} \approx 102.9^\circ$

Все углы меньше $180^\circ$, значит, выпуклый четырехугольник с такими углами существует. Следовательно, в него можно вписать окружность.

Ответ: можно.

Пусть углы четырехугольника относятся как $3:5:3:1$. Обозначим их как $3x, 5x, 3x, x$.

$3x + 5x + 3x + x = 360^\circ$

$12x = 360^\circ$

$x = 30^\circ$

Тогда углы четырехугольника равны:

$\alpha_1 = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

$\alpha_2 = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$

$\alpha_3 = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$

$\alpha_4 = 1 \cdot 30^\circ = 30^\circ$

Все углы меньше $180^\circ$, значит, выпуклый четырехугольник с такими углами существует. Следовательно, в него можно вписать окружность.

Ответ: можно.