Номер 1.197, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.197. В прямоугольнике диагональ образует с одной из сторон угол в $30^\circ$, а радиус окружности, описанной около него, равен $R$. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник, стороны которого равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$. Окружность, описанная около прямоугольника, имеет своим центром точку пересечения его диагоналей, а ее диаметр равен длине диагонали.

По условию задачи, радиус описанной окружности равен $R$. Следовательно, ее диаметр равен $2R$. Таким образом, длина диагонали прямоугольника $d$ равна диаметру описанной окружности:$d = 2R$

Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Катетами этих треугольников являются стороны прямоугольника ($a$ и $b$), а гипотенузой — его диагональ ($d$).

По условию, диагональ образует с одной из сторон угол в $30^\circ$. Пусть этот угол $\alpha$ образован диагональю $d$ и стороной $a$. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$, сторона $b$ будет противолежащим катетом к углу $\alpha=30^\circ$, а сторона $a$ — прилежащим катетом.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$\sin(30^\circ) = \frac{b}{d}$

Отсюда можем выразить сторону $b$:$b = d \cdot \sin(30^\circ)$

Подставим известные значения $d = 2R$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:$b = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$

Аналогично, для стороны $a$ (прилежащего катета):$a = d \cdot \cos(30^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

Чтобы найти меньшую сторону, сравним $a$ и $b$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, то $R\sqrt{3} > R$. Следовательно, сторона $b$ является меньшей.

Также можно отметить, что в прямоугольном треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона (катет). Углы в рассматриваемом нами треугольнике равны $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$. Меньший острый угол равен $30^\circ$. Сторона, лежащая напротив этого угла, и есть меньшая сторона прямоугольника. Ее длина, как мы уже нашли, равна $R$.

Ответ: $R$