Номер 1.200, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.200. Перпендикуляры, проведенные к сторонам угла $AOB$ в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $C$, лежащей внутри этого угла. Докажите, что около четырехугольника $ACBO$ можно описать окружность (рис. 1.99).

Рис. 1.99

Для доказательства того, что около четырехугольника ACBO можно описать окружность, мы покажем, что все его четыре вершины лежат на одной окружности.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. По условию задачи, перпендикуляр, проведенный к стороне OA в точке A, пересекает другой перпендикуляр в точке C. Это означает, что прямая AC перпендикулярна прямой OA, и, следовательно, угол $\angle OAC$ является прямым: $\angle OAC = 90^\circ$.

Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным. Известно, что окружность, описанная около прямоугольного треугольника, имеет центр в середине его гипотенузы, а сама гипотенуза является диаметром этой окружности. В треугольнике $\triangle OAC$ гипотенузой является сторона OC, лежащая напротив прямого угла. Таким образом, точки O, A и C лежат на окружности с диаметром OC.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OBC$. Аналогично, по условию, прямая BC перпендикулярна прямой OB, следовательно, угол $\angle OBC$ является прямым: $\angle OBC = 90^\circ$.

Треугольник $\triangle OBC$ также является прямоугольным с гипотенузой OC. Следовательно, точки O, B и C также лежат на окружности с диаметром OC.

Поскольку точки O, A, C лежат на окружности с диаметром OC, и точки O, B, C лежат на той же самой окружности, то все четыре точки A, C, B, O лежат на одной и той же окружности. А это и означает, что около четырехугольника ACBO можно описать окружность.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Около четырехугольника ACBO можно описать окружность. Это следует из того, что углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ прямые, а значит, точки A и B лежат на окружности, построенной на отрезке OC как на диаметре.