Номер 1.204, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.204. Окружность на сторонах выпуклого четырехугольника отсекает равные между собой хорды. Докажите, что суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, а также окружность с центром в точке $O$. По условию, эта окружность высекает на прямых, содержащих стороны четырехугольника ($AB, BC, CD, DA$), хорды одинаковой длины. Обозначим эту длину через $l$.

Основное свойство окружности гласит, что хорды равной длины равноудалены от ее центра. Пусть $d_{AB}, d_{BC}, d_{CD}, d_{DA}$ — это расстояния от центра $O$ до прямых $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Поскольку все четыре хорды имеют равную длину $l$, то и расстояния от центра $O$ до прямых, на которых они лежат, также равны:$d_{AB} = d_{BC} = d_{CD} = d_{DA}$.Обозначим это общее расстояние как $d$.

Равенство расстояний от точки $O$ до прямых, содержащих стороны четырехугольника, означает, что точка $O$ лежит на биссектрисах углов этого четырехугольника. Поскольку четырехугольник $ABCD$ выпуклый, точка $O$ лежит на биссектрисах его внутренних углов:
1. Так как $O$ равноудалена от прямых $AB$ и $BC$, она принадлежит биссектрисе угла $\angle B$.
2. Так как $O$ равноудалена от прямых $BC$ и $CD$, она принадлежит биссектрисе угла $\angle C$.
3. Аналогично, точка $O$ принадлежит биссектрисам углов $\angle D$ и $\angle A$.

Тот факт, что все четыре биссектрисы внутренних углов четырехугольника $ABCD$ пересекаются в одной точке $O$, является необходимым и достаточным условием того, что в данный четырехугольник можно вписать окружность (с центром в точке $O$ и радиусом $d$). Такой четырехугольник называется описанным.

Для любого описанного четырехугольника верна теорема Пито, которая гласит, что суммы длин противоположных сторон равны. Применительно к нашему четырехугольнику $ABCD$ это означает:$AB + CD = BC + DA$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны, что и требовалось доказать.