Творческая работа, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

БЕЙБІТШІЛІК ЖӘНЕ КЕЛІСІМ САРАЙЫ

Творческая работа

Основанием пирамиды, построенной в Астане, является квадрат со стороной, равной 61,8 м, боковые ребра примерно равны 75,7 м. Каждая боковая грань пирамиды разделена отрезками, параллельными боковым ребрам треугольника.

1) Определите длину отрезков, округляя результат до 0,1 см.

2) Проверьте результат, применяя теорему Фалеса.

3) Определите высоту боковых граней данной пирамиды, выражая результат в мерах.

1)Для определения длины отрезков будем исходить из того, что боковые ребра каждой треугольной грани пирамиды разделены на 5 равных частей, а искомые отрезки параллельны основанию этой грани. Это предположение основано на визуальном анализе изображения и упоминании теоремы Фалеса в следующем пункте, несмотря на возможную неточность в формулировке задания.

Боковая грань пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник с основанием $a = 61,8$ м (сторона квадрата в основании пирамиды) и боковыми сторонами (ребрами пирамиды) $l = 75,7$ м.

Четыре отрезка, параллельные основанию, делят боковую грань на 5 частей по высоте и отсекают от нее четыре треугольника, подобных исходному. Так как боковые ребра разделены на 5 равных частей, коэффициенты подобия этих треугольников к исходной грани будут равны $\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$.

Длины этих отрезков ($L_1, L_2, L_3, L_4$) можно найти, умножив длину основания $a$ на соответствующий коэффициент подобия:

• $L_1 = \frac{1}{5} \times 61,8 = 12,36$ м
• $L_2 = \frac{2}{5} \times 61,8 = 24,72$ м
• $L_3 = \frac{3}{5} \times 61,8 = 37,08$ м
• $L_4 = \frac{4}{5} \times 61,8 = 49,44$ м

Задание требует округлить результат до 0,1 см. Для этого переведем метры в сантиметры ($1$ м $= 100$ см):

• $L_1 = 12,36$ м $= 1236$ см. Округленный результат: $1236,0$ см.
• $L_2 = 24,72$ м $= 2472$ см. Округленный результат: $2472,0$ см.
• $L_3 = 37,08$ м $= 3708$ см. Округленный результат: $3708,0$ см.
• $L_4 = 49,44$ м $= 4944$ см. Округленный результат: $4944,0$ см.

Ответ: Длины отрезков равны $1236,0$ см, $2472,0$ см, $3708,0$ см и $4944,0$ см.

2)Результаты, полученные в пункте 1, основаны на свойстве подобных треугольников, которое является прямым следствием обобщенной теоремы Фалеса. Проверка заключается в формальном применении этой теоремы.

Теорема Фалеса гласит, что если стороны угла пересечь параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые на одной стороне угла, будут пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой стороне.

В нашем случае, в треугольнике боковой грани (пусть его вершина $S$, а основание $BC$) проведены отрезки ($P_1Q_1, P_2Q_2, \ldots$), параллельные основанию $BC$. По условию, точки $P_1, P_2, P_3, P_4$ делят боковое ребро $SB$ на 5 равных частей. Из обобщенной теоремы Фалеса следует, что для каждого отрезка $P_iQ_i$ выполняется соотношение:$\frac{SP_i}{SB} = \frac{SQ_i}{SC} = \frac{P_iQ_i}{BC}$

Так как $\frac{SP_1}{SB} = \frac{1}{5}$, $\frac{SP_2}{SB} = \frac{2}{5}$, и так далее, то длины отрезков вычисляются следующим образом:

• $P_1Q_1 = BC \times \frac{1}{5} = 61,8 \times 0,2 = 12,36$ м
• $P_2Q_2 = BC \times \frac{2}{5} = 61,8 \times 0,4 = 24,72$ м
• $P_3Q_3 = BC \times \frac{3}{5} = 61,8 \times 0,6 = 37,08$ м
• $P_4Q_4 = BC \times \frac{4}{5} = 61,8 \times 0,8 = 49,44$ м

Эти вычисления полностью совпадают с расчетами из пункта 1, что подтверждает их правильность.

Ответ: Применение теоремы Фалеса подтверждает правильность расчетов, выполненных в пункте 1.

3)Высота боковой грани пирамиды (также называемая апофемой) — это высота равнобедренного треугольника, из которого состоит грань.

Мы имеем равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l = 75,7$ м и основанием $a = 61,8$ м. Высота $h_a$, проведенная к основанию, делит его на два равных отрезка и образует два одинаковых прямоугольных треугольника.

В каждом из этих прямоугольных треугольников:

• гипотенуза — это боковая сторона $l = 75,7$ м;
• один катет — это половина основания $\frac{a}{2} = \frac{61,8}{2} = 30,9$ м;
• второй катет — это искомая высота $h_a$.

По теореме Пифагора $l^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2$. Выразим и вычислим высоту $h_a$:

$h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{75,7^2 - 30,9^2}$

$h_a = \sqrt{5730,49 - 954,81} = \sqrt{4775,68}$

$h_a \approx 69,106$ м.

Выразим результат в метрах, округлив до одного знака после запятой, что соответствует точности исходных данных.

Ответ: Высота боковых граней пирамиды примерно равна $69,1$ м.