Номер 2.1, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.1. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $a$, гипотенуза – $c$. Найдите косинус угла, противолежащего данному катету, если:

1) $a = 10, c = 12$;

2) $a = 3, c = 5$;

3) $a = 1,5, c = 3$.

Пусть в прямоугольном треугольнике дан катет $a$ и гипотенуза $c$. Обозначим угол, противолежащий катету $a$, как $\alpha$.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $sin(\alpha) = \frac{a}{c}$.

Чтобы найти косинус этого же угла, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin²(\alpha) + cos²(\alpha) = 1$.

Отсюда $cos²(\alpha) = 1 - sin²(\alpha)$. Поскольку угол $\alpha$ в прямоугольном треугольнике является острым (меньше 90°), его косинус положителен. Следовательно, $cos(\alpha) = \sqrt{1 - sin²(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{a}{c})²}$.

Решим задачу для каждого из случаев.

1) $a = 10, c = 12$

Найдем синус угла $\alpha$, противолежащего катету $a$:
$sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

Теперь найдем косинус этого угла:
$cos(\alpha) = \sqrt{1 - sin²(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{5}{6})²} = \sqrt{1 - \frac{25}{36}} = \sqrt{\frac{36 - 25}{36}} = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{11}}{6}$.

2) $a = 3, c = 5$

Найдем синус угла $\alpha$, противолежащего катету $a$:
$sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{3}{5}$.

Теперь найдем косинус этого угла:
$cos(\alpha) = \sqrt{1 - sin²(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})²} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

3) $a = 1,5, c = 3$

Найдем синус угла $\alpha$, противолежащего катету $a$:
$sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{1.5}{3} = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем косинус этого угла:
$cos(\alpha) = \sqrt{1 - sin²(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})²} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4 - 1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.