Номер 2.4, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.4. Стороны треугольника относятся как 5 : 12 : 13. Докажите, что этот треугольник является прямоугольным.

Для доказательства того, что данный треугольник является прямоугольным, воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Она гласит: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию задачи, их длины относятся как $5 : 12 : 13$. Это значит, что существует такой коэффициент пропорциональности $k > 0$, что стороны треугольника равны:

$a = 5k$
$b = 12k$
$c = 13k$

В прямоугольном треугольнике наибольшая сторона является гипотенузой. В нашем случае это сторона $c = 13k$. Две другие стороны, $a = 5k$ и $b = 12k$, должны быть катетами. Проверим, выполняется ли для этих сторон равенство $a^2 + b^2 = c^2$.

Найдем сумму квадратов двух меньших сторон (предполагаемых катетов):
$a^2 + b^2 = (5k)^2 + (12k)^2 = 25k^2 + 144k^2 = 169k^2$.

Найдем квадрат наибольшей стороны (предполагаемой гипотенузы):
$c^2 = (13k)^2 = 169k^2$.

Сравнивая результаты, получаем:
$169k^2 = 169k^2$, следовательно, $a^2 + b^2 = c^2$.

Поскольку квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник с таким соотношением сторон является прямоугольным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, так как для его сторон выполняется соотношение, соответствующее теореме Пифагора: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$.