Номер 2.11, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.11. Могут ли все стороны прямоугольного треугольника выражаться:

1) четными числами;

2) нечетными числами?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Обозначим длины сторон треугольника как $a$, $b$ (катеты) и $c$ (гипотенуза). Тогда должно выполняться равенство: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a, b, c$ – целые числа.

1) четными числами

Предположим, что все стороны прямоугольного треугольника могут быть выражены четными числами. Пусть $a = 2k$, $b = 2m$ и $c = 2n$, где $k, m, n$ – некоторые целые числа. Подставим эти значения в теорему Пифагора: $(2k)^2 + (2m)^2 = (2n)^2$ $4k^2 + 4m^2 = 4n^2$ Разделив обе части уравнения на 4, получим: $k^2 + m^2 = n^2$ Это означает, что если существует хотя бы один прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами $(k, m, n)$ (такие тройки чисел называются пифагоровыми), то мы можем построить другой прямоугольный треугольник, умножив каждую его сторону на 2, и все его стороны будут четными. Возьмем, к примеру, известный "египетский" треугольник со сторонами 3, 4, 5. Здесь $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Пусть $k=3, m=4, n=5$. Тогда стороны нового треугольника будут: $a = 2 \cdot 3 = 6$ $b = 2 \cdot 4 = 8$ $c = 2 \cdot 5 = 10$ Проверим: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, и $10^2 = 100$. Равенство выполняется, и все стороны (6, 8, 10) являются четными числами. Следовательно, все стороны прямоугольного треугольника могут выражаться четными числами.

Ответ: да, могут.

2) нечетными числами

Предположим, что все стороны прямоугольного треугольника $a, b, c$ – нечетные числа. Рассмотрим свойства четности чисел. Квадрат любого нечетного числа является нечетным. Пусть $x$ - нечетное число, тогда $x = 2k+1$ для некоторого целого $k$. Его квадрат $x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, что является нечетным числом. Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом. В уравнении $a^2 + b^2 = c^2$:

• Если $a$ – нечетное, то $a^2$ – нечетное.
• Если $b$ – нечетное, то $b^2$ – нечетное.
• Тогда сумма $a^2 + b^2$ будет суммой двух нечетных чисел, а значит, будет четным числом.

Ответ: нет, не могут.