Номер 2.12, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.12. Могут ли только две стороны прямоугольного треугольника выражаться:

1) четными числами;

2) нечетными числами?

Пусть стороны прямоугольного треугольника, выраженные целыми числами, равны $a$, $b$ (катеты) и $c$ (гипотенуза). Согласно теореме Пифагора, они связаны соотношением $a^2 + b^2 = c^2$.

Проанализируем свойства четности квадратов целых чисел. Квадрат четного числа $n=2k$ равен $n^2 = (2k)^2 = 4k^2$, то есть является четным числом, кратным 4. Квадрат нечетного числа $n=2k+1$ равен $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 4(k^2+k)+1$, то есть является нечетным числом, которое при делении на 4 дает в остатке 1.

Предположим, что ровно две стороны треугольника являются четными числами. Это означает, что третья сторона должна быть нечетной. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Два катета ($a$ и $b$) — четные, а гипотенуза ($c$) — нечетная.
В этом случае $a^2$ и $b^2$ кратны 4, а их сумма $a^2 + b^2$ также кратна 4. С другой стороны, $c^2$ (квадрат нечетного числа) при делении на 4 дает в остатке 1. Равенство $a^2 + b^2 = c^2$ невозможно, так как число, кратное 4, не может быть равно числу, которое не кратно 4.

Случай 2: Один катет (например, $a$) и гипотенуза ($c$) — четные, а другой катет ($b$) — нечетный.
В этом случае $a^2$ и $c^2$ кратны 4. Квадрат нечетного катета $b^2$ при делении на 4 дает в остатке 1. Из уравнения $a^2 + b^2 = c^2$ следует, что $b^2 = c^2 - a^2$. Так как $c^2$ и $a^2$ кратны 4, их разность также кратна 4. Но $b^2$ не кратно 4. Получаем противоречие. Этот случай также невозможен.

Поскольку все возможные варианты, где ровно две стороны являются четными, приводят к противоречию, такая ситуация невозможна.

Ответ: нет, не могут.

Предположим, что ровно две стороны треугольника являются нечетными числами. Это означает, что третья сторона должна быть четной. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: Два катета ($a$ и $b$) — нечетные, а гипотенуза ($c$) — четная.
В этом случае $a^2$ и $b^2$ при делении на 4 дают в остатке 1. Их сумма $a^2 + b^2$ при делении на 4 будет давать в остатке $1+1=2$. С другой стороны, $c^2$ (квадрат четного числа) кратен 4. Равенство $a^2 + b^2 = c^2$ невозможно, так как число, дающее остаток 2 при делении на 4, не может быть равно числу, кратному 4.

Случай 2: Один катет (например, $b$) — четный, а другой катет ($a$) и гипотенуза ($c$) — нечетные.
В этом случае $a^2$ и $c^2$ при делении на 4 дают в остатке 1, а $b^2$ кратен 4. Уравнение $a^2 + b^2 = c^2$ можно записать в виде анализа остатков от деления на 4: (остаток 1) + (остаток 0) = (остаток 1). Это равенство верно. Противоречия нет.

Этот случай возможен, что подтверждается существованием Пифагоровых троек. Например, рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5.
Катет $a=3$ — нечетное число.
Катет $b=4$ — четное число.
Гипотенуза $c=5$ — нечетное число.
В этом треугольнике ровно две стороны (3 и 5) выражены нечетными числами. Проверка по теореме Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, и $5^2 = 25$. Равенство выполняется.

Ответ: да, могут.