Номер 2.16, страница 58 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

B

2.16. Основания равнобедренной трапеции равны 5 м и 11 м, а боковая сторона – 5 м. Найдите высоту трапеции (рис. 2.11).

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. Согласно условию задачи, меньшее основание $BC = 5$ м, большее основание $AD = 11$ м, а боковые стороны равны, $AB = CD = 5$ м.

Для нахождения высоты трапеции проведем из вершин $B$ и $C$ верхнего основания высоты $BH$ и $CK$ на нижнее основание $AD$. Таким образом, $BH \perp AD$ и $CK \perp AD$.

Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, поскольку его противоположные стороны параллельны ($BC \parallel HK$) и углы при основании $HK$ прямые. Следовательно, длина отрезка $HK$ равна длине основания $BC$: $HK = BC = 5$ м.

Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе ($AB = CD$) и катету ($BH = CK$). Из равенства треугольников следует, что отрезки $AH$ и $KD$, которые они отсекают на большем основании, также равны: $AH = KD$.

Длина большего основания $AD$ состоит из суммы длин трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Заменив $KD$ на $AH$ и подставив известные значения, получим: $11 = AH + 5 + AH$ $11 = 2 \cdot AH + 5$

Решим это уравнение, чтобы найти длину отрезка $AH$: $2 \cdot AH = 11 - 5$ $2 \cdot AH = 6$ $AH = 3$ м.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем известны гипотенуза $AB = 5$ м и катет $AH = 3$ м. Второй катет $BH$ является высотой трапеции. По теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$): $AH^2 + BH^2 = AB^2$ $3^2 + BH^2 = 5^2$ $9 + BH^2 = 25$ $BH^2 = 25 - 9$ $BH^2 = 16$ $BH = \sqrt{16} = 4$ м.

Ответ: 4 м.