Номер 2.23, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.23. Расстояние между центрами двух окружностей с радиусами 6 см и 2 см равно 10 см. Найдите длины их общих внутренних и внешних касательных (рис. 2.12).

Рис. 2.12

Пусть даны две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$. Радиус первой окружности $R_1 = 6$ см, радиус второй окружности $R_2 = 2$ см. Расстояние между центрами $O_1O_2 = 10$ см.

Пусть $AB$ — общая внешняя касательная к двум окружностям, где $A$ — точка касания на первой окружности, а $B$ — на второй. По свойству касательной, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной, то есть $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$.

Проведем из центра меньшей окружности $O_2$ прямую, параллельную касательной $AB$, до пересечения с радиусом $O_1A$ в точке $K$. Четырехугольник $KABO_2$ является прямоугольником, так как $O_2K \parallel AB$, $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Следовательно, $AB = O_2K$ и $AK = O_2B = R_2 = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1KO_2$ (угол $O_1KO_2$ прямой).

Гипотенуза $O_1O_2 = 10$ см.

Катет $O_1K = O_1A - AK = R_1 - R_2 = 6 - 2 = 4$ см.

Катет $O_2K$ (длина касательной $AB$) найдем по теореме Пифагора: $O_1O_2^2 = O_1K^2 + O_2K^2$.

$O_2K^2 = O_1O_2^2 - O_1K^2$

$AB^2 = 10^2 - 4^2 = 100 - 16 = 84$

$AB = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ см.

Две внешние касательные имеют одинаковую длину.

Ответ: $2\sqrt{21}$ см.

Пусть $CD$ — общая внутренняя касательная, где $C$ — точка касания на первой окружности, а $D$ — на второй. Радиусы $O_1C$ и $O_2D$ перпендикулярны касательной $CD$.

Проведем из центра $O_2$ прямую, параллельную касательной $CD$, до пересечения с продолжением радиуса $O_1C$ в точке $M$. Четырехугольник $MCDO_2$ является прямоугольником, поэтому $CD = O_2M$ и $CM = O_2D = R_2 = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1MO_2$ (угол $O_1MO_2$ прямой).

Гипотенуза $O_1O_2 = 10$ см.

Катет $O_1M = O_1C + CM = R_1 + R_2 = 6 + 2 = 8$ см.

Катет $O_2M$ (длина касательной $CD$) найдем по теореме Пифагора: $O_1O_2^2 = O_1M^2 + O_2M^2$.

$O_2M^2 = O_1O_2^2 - O_1M^2$

$CD^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

$CD = \sqrt{36} = 6$ см.

Две внутренние касательные также имеют одинаковую длину.

Ответ: 6 см.