Номер 2.29, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

тифагра.

2.29. Две окружности, радиусы которых равны $r$, проходят через центры друг друга. Выразите $r$ через их общую хорду.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры двух окружностей, а $r$ — их общий радиус. По условию задачи, каждая окружность проходит через центр другой. Это означает, что расстояние между центрами окружностей равно их радиусу, то есть $|O_1O_2| = r$.

Пусть $A$ и $B$ — точки пересечения окружностей. Отрезок $AB$ является их общей хордой. Обозначим длину этой хорды через $c$, то есть $|AB| = c$.

Рассмотрим четырехугольник $O_1AO_2B$. Его стороны $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами первой окружности, поэтому их длина равна $r$. Стороны $O_2A$ и $O_2B$ являются радиусами второй окружности, и их длина также равна $r$. Так как все четыре стороны четырехугольника ($|O_1A|=|O_1B|=|O_2A|=|O_2B|=r$) равны, то $O_1AO_2B$ — ромб.

Диагоналями этого ромба являются отрезок, соединяющий центры, $O_1O_2$, и общая хорда $AB$. Из условия и нашего обозначения мы знаем длины диагоналей: $|O_1O_2| = r$ и $|AB| = c$.

По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Пусть $M$ — точка пересечения диагоналей $AB$ и $O_1O_2$. Тогда $\triangle O_1MA$ является прямоугольным. Его гипотенуза — это радиус $|O_1A| = r$, а катеты — это половины диагоналей: $|AM| = \frac{|AB|}{2} = \frac{c}{2}$ и $|O_1M| = \frac{|O_1O_2|}{2} = \frac{r}{2}$.

Применим к прямоугольному треугольнику $\triangle O_1MA$ теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$|O_1M|^2 + |AM|^2 = |O_1A|^2$

Подставим известные длины в уравнение:
$(\frac{r}{2})^2 + (\frac{c}{2})^2 = r^2$

Теперь решим это уравнение, чтобы выразить $r$ через $c$:
$\frac{r^2}{4} + \frac{c^2}{4} = r^2$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:
$r^2 + c^2 = 4r^2$
Перенесем $r^2$ в правую часть:
$c^2 = 4r^2 - r^2$
$c^2 = 3r^2$
Выразим $r^2$:
$r^2 = \frac{c^2}{3}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$r = \sqrt{\frac{c^2}{3}} = \frac{c}{\sqrt{3}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$r = \frac{c \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{c\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $r = \frac{c\sqrt{3}}{3}$