Номер 2.22, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.22. Пусть c – гипотенуза, a, b – катеты, h – высота, проведенная к гипотенузе, $a_c$, $b_c$ – проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника. Найдите:

1) c, h, $a_c$, $b_c$, если $a = 9$ см, $b = 12$ см;

2) b, h, $a_c$, $b_c$, если $a = 12$ см, $c = 13$ см.

1)

Дано: катеты $a = 9$ см, $b = 12$ см.

Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.

Высоту $h$, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь треугольника. С одной стороны, площадь прямоугольного треугольника $S = \frac{1}{2}ab$. С другой стороны, $S = \frac{1}{2}ch$. Приравнивая эти два выражения, получаем $ab = ch$, откуда $h = \frac{ab}{c}$.
$h = \frac{9 \cdot 12}{15} = \frac{108}{15} = \frac{36}{5} = 7.2$ см.

Проекции катетов на гипотенузу $a_c$ и $b_c$ найдем, используя метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$.
$a_c = \frac{a^2}{c} = \frac{9^2}{15} = \frac{81}{15} = \frac{27}{5} = 5.4$ см.
$b_c = \frac{b^2}{c} = \frac{12^2}{15} = \frac{144}{15} = \frac{48}{5} = 9.6$ см.

Для проверки можно сложить проекции: $a_c + b_c = 5.4 + 9.6 = 15$ см, что равно длине гипотенузы $c$.

Ответ: $c = 15$ см, $h = 7.2$ см, $a_c = 5.4$ см, $b_c = 9.6$ см.

2)

Дано: катет $a = 12$ см, гипотенуза $c = 13$ см.

Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, откуда $b^2 = c^2 - a^2$.
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

Найдем высоту $h$, проведенную к гипотенузе, по формуле $h = \frac{ab}{c}$.
$h = \frac{12 \cdot 5}{13} = \frac{60}{13}$ см.

Найдем проекции катетов на гипотенузу $a_c$ и $b_c$ по формулам $a_c = \frac{a^2}{c}$ и $b_c = \frac{b^2}{c}$.
$a_c = \frac{12^2}{13} = \frac{144}{13}$ см.
$b_c = \frac{5^2}{13} = \frac{25}{13}$ см.

Для проверки сложим проекции: $a_c + b_c = \frac{144}{13} + \frac{25}{13} = \frac{169}{13} = 13$ см, что равно длине гипотенузы $c$.

Ответ: $b = 5$ см, $h = \frac{60}{13}$ см, $a_c = \frac{144}{13}$ см, $b_c = \frac{25}{13}$ см.