Номер 2.20, страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.20. Если длины сторон прямоугольного треугольника выражаются целыми числами, то их называют пифагорейскими. Докажите, что треугольники, стороны которых выражаются формулами $a = 2mn$, $b = m^2 - n^2$, $c = m^2 + n^2$, $m > n$, где $m$, $n$ – натуральные числа, являются пифагорейскими.

Согласно определению, пифагорейским называется прямоугольный треугольник, длины сторон которого выражаются целыми числами. Чтобы доказать, что треугольники, стороны которых заданы формулами $a = 2mn$, $b = m^2 - n^2$ и $c = m^2 + n^2$ (где $m, n$ — натуральные числа и $m > n$), являются пифагорейскими, нам нужно установить два факта:
1) Длины сторон $a, b, c$ являются целыми числами.
2) Эти стороны удовлетворяют теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$).

Сначала докажем, что длины сторон являются целыми числами. Поскольку $m$ и $n$ по условию являются натуральными числами, то они также являются целыми. Произведение целых чисел ($2mn$), их квадраты ($m^2, n^2$), а также сумма ($m^2 + n^2$) и разность ($m^2 - n^2$) целых чисел всегда являются целыми числами. Следовательно, стороны $a, b$ и $c$ имеют целочисленные длины. Также, поскольку $m > n \ge 1$, все стороны положительны: $a=2mn > 0$, $b=m^2-n^2 > 0$, $c=m^2+n^2 > 0$.

Теперь проверим, выполняется ли для этих сторон теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Сравним длину стороны $c$ с длинами сторон $a$ и $b$.
Разность $c - a = (m^2 + n^2) - 2mn = m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2$. Так как $m > n$, то $(m - n)^2 > 0$, значит $c > a$.
Разность $c - b = (m^2 + n^2) - (m^2 - n^2) = 2n^2$. Так как $n$ — натуральное число, то $2n^2 > 0$, значит $c > b$.
Таким образом, $c$ является самой длинной стороной и, в случае прямоугольного треугольника, будет гипотенузой.

Проверим равенство $a^2 + b^2 = c^2$, подставив выражения для $a$ и $b$ в левую часть:
$a^2 + b^2 = (2mn)^2 + (m^2 - n^2)^2$
Раскроем скобки, используя известные алгебраические тождества (квадрат произведения и квадрат разности):
$a^2 + b^2 = 4m^2n^2 + (m^4 - 2m^2n^2 + n^4)$
Приведем подобные члены:
$a^2 + b^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4$

Полученное выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы:
$m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2$

Мы видим, что итоговое выражение в точности равно $c^2$, так как по условию $c = m^2 + n^2$. Таким образом, мы доказали, что $a^2 + b^2 = c^2$.

Поскольку для сторон $a, b, c$ выполняется теорема Пифагора, треугольник с такими сторонами является прямоугольным. Так как длины его сторон, как было показано ранее, являются целыми числами, он по определению является пифагорейским.

Ответ: Треугольники, стороны которых выражаются формулами $a = 2mn$, $b = m^2 - n^2$, $c = m^2 + n^2$, где $m, n$ — натуральные числа и $m > n$, являются пифагорейскими. Это доказано тем, что длины их сторон являются целыми числами и удовлетворяют теореме Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), что делает их прямоугольными треугольниками с целочисленными сторонами, что и требовалось доказать.